21. Ряд Тейлора для функции комплексной переменной. Ряд Лорана

Т. Пусть ф-ция f(z) аналитическая в круге , тогда в этом круге ф-цияf(z) разлагается в степенной ряд , кот. явл. рядом Тэйлора для ф-цииf(z), т. е., Гр. =окр.

Ряд Тэйлора +

Все известные разложения ф-ции в ряд Маклорена здесь тоже подойдут.

Ряд Лорана

О. рядом Лорана с центром в т. наз-ся ряд

{ главная часть } { правильная часть }

, z, ∈ C

–обл. сх-ти для прав. Части

= - радиус сх-ти; |t|<

1. Если r < R , то мн-во сх-ти ряда Лорана - кольцо

2. Если r > R , то обл. сх-ти - .

3. Если r = R , то доп. иссл-ния

4. Если r=0, но гл. часть присутствует, z≠, тонадо выколоть.

5. Если r=0 и гл. часть отс-ет, то обл. сх-ти – круг

, сх-ть равномерная, сумма сх-ти ряда явл. Аналитической в открытом кольце => ряд Лорана можно инт-ть по V пути, расп-му в кольце и диф-ть почленно.

Т. Ф-ция f(z) аналитическая в кольце однозначно представима в этом кольце сход-ся рядом Лорана

Гр – окр-ть

Замечания.

1. f(z) не явл-ся анал-кой внутри круга

2. Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана, когда ф-ция f(z) нал-кая внутри круга

3. Границы кольца можно раздвинуть до ближайших особых точек ф-ции f(z)

Разложение в ряд Лорана единственное => найденное V сп-м разложение аналит. ф-ции п + или – степеням выр-ния явл. Лорановским разложением этой ф-ции.

22. Нули и изолированные особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек

О. т. наз-сянулём к-го порядка аналитической ф-ции f(z), если

, но .

Если - ноль к-го порядка, то в разложении ряда Лорана данной ф-циив окр.будет прис-ть только правильная часть, причём наим. степень сов-ет с пор. нуля.

О. т. наз-сяизолированной особой точкой f(z), если Ǝ окр. , в кот.f(z) не явл. аналитической. Речь идёт об однозначных ф-ях f(z).

f(z) аналитическая в кольце .f(z) можно разложить в этом кольце в сх-ся к ней ряд Лорана.

1. Ряд Лорана не сод-т гл. части

2. Ряд Лорана сод-т конечное число слагаемых

, { главная часть } { правильная часть }

. Порядок – наим. ст. в знам. гл. части

3. Ряд Лорана сод-т бесконечное число слагаемых в гл. части

.

Т1. Для того, чтобы т. являлась УОТ аналитической ф-ции, необходимо и достаточно, чтобы Ǝ

Т2. Для того, чтобы т. являлась полюсом аналитической ф-ции, необходимо и достаточно, чтобы Ǝ

Т3. Для того, чтобы т. являлась полюсом порядкаm аналитической ф-ции , необходимо и достаточно, чтобы ф-циюможно было представить в виде

, где () –аналитическая ф-ция в т.и≠0

;f(z)*

Т4. Пусть – ИОТ ф-ции

Пусть – ноль k-го порядка для ф-ции и нольl-го порядка для ф-ции . Тогда приl>k т. явл. полюсом порядкаm=l-kаналитической ф-цииf(z).

T5.Для того, чтобы т. являлась СОТ ф-ции, необходимо и достаточно, чтобы прине имела предела ни конечного, ни бесконечного. Не сущ

23. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах

Определение: вычитом ф-ции f(z) в т. Z₀ называется число : 1/2πiʃf(z)dz , где Г⁺ - достаточно малая окружность пробегаемая в положительном направлении

Разложим функцию f(z) в кольцо 0 < Z – Z₀ < δ в ряд Лорана:

f(Z) = … + C_-2/(Z – Z₀)^2 + C_-1/(Z – Z₀) + C₀ + C₁(Z – Z₀) + C₂(Z – Z₀)^2 + …

C_n = 1/2πi ʄ (f(ξ) / (ξ - Z₀)^(n+1) )*d ξ – интеграл по замкнутому контуру Г( - кольцо)

| Z – Z₀| = p

C_-1 = 1/2πi ʄ (f(ξ) d ξ

Вычит функции f(z) = коэфициенту C_-1 в разложении в ряд Лорано:

res f(z) = C_-1 = 1/2πi ʄ (f(ξ) d ξ

Основная теорема о вычитах

Пусть f(z) аналитическая в области Д за исключением конечного числа точек Z₁, Z₂, …, Z_m содержащихся в Д и ф-ция непрервна в обл. Д \ { Z₁, Z₂, …, Z_m} U L , где L⁺ - граница обл. Д пробегаемая в положительном направлении. Тогда интеграл:

Замечание. Основная теорема о вычитах справедлива, когда обл. Д не односвязана.

L = L₁ U L₂