18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции

Т. Если f(x) – аналитическая в односвязной области D и ограничена кусочно-гладким контуром Г и непрерывна в , то

Д-во:

f(z)=U(x,y)+V(x,y)*i

f ’(z) – непрерывная ф-ция (доп. предположение ) => /* усл.

U(x,y), V(x,y) имеют непр. частичные произв. 1 порядка. теоремы

Грина

Пусть D - односвязная область, ограниченная кусочно-гладким контуром Г (гамма) */

Теорема Грина.

Следствие. Пусть область D - не односвязная, ф-ция f(z) – аналитическая в области D и непр. в Граница Г

, где L – внешний контур

– внутренние контуры

Д-во:

Первообразная и интеграл аналитической функции

Пусть f(x) – аналитическая ф-ция в односвязной области D

f(z)=U(x,y)+V(x,y)*i

(Р) (Q) (P) (Q)

Усл. нез-ти КРИ-2 от пути: всюду в обл.D.

–не зав-т от ф-мы пути

(1)

Теорема Мореры. Пусть f(x) – аналитическая ф-ция в односвязной области D. Тогда ф-ция (1) также анал-кая в области D и вып-ся: Ф' (z)=f(z) (аналог т. Барроу)

Ф(z) – первообразная для f(z) в области D

Ф(z) + С – комплексна константа явл. первообразной для f(z) в области D

Неопределённые инт-лы

=a,b –комплексные константы

19.Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции

Т. Пусть ф-ция f(x) – аналитическая в односвязной области D, ограничена кусочно-гладким контуром Г и непрерывна в , тогда дляV внутренней т. ∈ D имеет место интегральная формула Коши: , где к-р Г нах-ся в + напр.

Д-во:

Замечание. Если обл. D неодносвязна, то интегральная формула Коши имеет место, но под к-м Г понимается сов-ть всех границ

Теорема о производных аналитической функции

Т. Если ф-ция f(x) – аналитическая в односвязной области D, ограничена кусочно-гладким контуром Г и непрерывна в , то тогда дляV внутренней т. ∈ D и для V n ∈ N Ǝ , где к-р Г нах-ся в + напр.

–ИЗОП инт-л зав-т от параметра (z – пар-р)

z≠ξ непр. в

ИЗОП можно диф-ть по пар-ру:

Аналитическая в обл.Dф-ция диф-ма беск. число раз.

20. Ряды в комплексной области. Свойства функциональных рядов. Степенные ряды

Числовые ряды

усл. ряд

Функциональные ряды комплексной переменной

–однозначны

сх. к f(z), если Ǝ

Признак Вейерштрассе дословно повторяется. Определение для действительной области.

1) Если непр. в областиD при V n ∈ N

2) Если сх. равномерно наD к

D

Т2. то для V кусочно-гладкого контура L ∈ D

Т3. 1) Если аналитична в обл. D при V n ∈ N

2)Если сх. равномерно на мн-веD к ,

то f(z) в обл.D, а ряд можно почленно диф-тьV кол-во раз V z ∈ D, k ∈ N и каждый из пол-ных рядов сх. равномерно в обл. D

Степенные ряды в комплексной области

, Cn, Z, Z0 – комплексные числа ∈ С

Из т. Абелля если Ǝ R ≥= 0 такое, что ряд нах-ся внутри круга и расходится вне круга.м. б. точки, в кот сходится и расходится.R – радиус сходимости степенного ряда.

Внутри круга мажоранта, действ. знакопол. ряд.

Сумма степенного ряда явл. непрерывной, аналитической, интегрируемой почленно по V пути, нах-ся внутри круга

Каждый степенной ряд явл. рядом Тейлора для своей суммы, т. е.