15.Основные элементарные функции комплексной переменной

1. Линейные:

2. Степенные:

3. Многочлен:

4. Дробнорацинальные:

5. Функция:

6. Показательная:

7. Логарифмическая функция: ,

8. Тригонометрическая функция: , в комплексной плоскости не ограничены

9. Гиперболическая функция:

10. Обратные тригонометрические и гиперболические функции:

11. Обратные гиперболические:

12. Общая показательная функция: .

16. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Действительная и мнимая части аналитической функции

Производной функции называется число, если предел.

Функция называется дифференц-й в т., если её приращениеможет быть представлено,A –комплексная константа.

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную, причём

Следствие. . Если, дифференцируема в т., то

Все основные правила дифференцирования действительных функций сохраняются и для комплексных функций.

Условия Коши-Римана.

Пара функций называются удовлетворяющими условиям Коши-Римана в т.если в этой точке выполняется следующие условия:

Теорема. Для того, чтобы в т.имела производную необходимо, а если ф-иидифференцируемы, то и достаточно, чтобы в точке (х,у) функцииудовлетворяли условиям Коши-Римана. При этом если производная существует, то

Однозначная функция называется аналитической в т, еслитакая открытая окрестностьв каждой точке которой

Функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Действительная и мнимая части аналитической функции. Пусть аналитична в областиD, причём имеют непрерывные частные производные 2-го порядка. Выполняется условие Коши-Римана.

Функция, удовлетворяющая условию Лапласа – гармоническая

Действительные и мнимые части аналитической функции является гармоническими функциями.

Гармонические функции u и v удовлетворяющие в области D условиям Коши-Римана называются сопряжёнными.

Зная одну из сопряжённых частей гармонической функции и исп-я условия Коши-Римана, можно восстановить гармоническую функцию с точностью до констант, D – односвязная область.

17. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства

Пусть в области определена однозначная и непрерывная функция

Если , не зависящей от выбора точеки способа разбиения дуги на, то он называется интегралом функцииf(z) на кривой l с заданной ориентацией.

Свойства интеграла от функции комплексной переменной

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. 

4. 

5. 

18. Интегральная теорема Коши. Первообразная и интеграл аналитической функции

Теорема. Если функция аналитическая в односвязной областиD, ограниченной кусочно-гладким контуром Г и непрерывной в , то.

Доказательство:

–непрерывна. Из условия теоремы Грина ,имеют непр-ые частные производные 1-го порядка. Дано, что обл.D – односвязная, огр. Кусочно-гладким контуром Г.

, .чтд.

Следствие. Пусть D – неоднозначная функция – аналитическая в областиD,непрерывна в . Граница– внешний контур,– внутренние контуры

Первообразная и интеграл аналитической функции.

Пусть – аналитическая функция в односвязной областиD,

не зависит от формы пути.

Теорема Мореры.

Пусть ф-я аналитическая в односвязной областиD, тогда ф-я , так же аналитическая в той же области– первообразная дляв той же области., где С – такая константа, тоже явл-ся первообразной дляf(z) в области D.

Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть ф-я – аналитическая в односвязной областиD, огр. Кусочно-гладким контуром Г и непрерывной в , тогда для любой внешней точкиимеет место интегральная формула

, где контур Г обходится в положительном направлении.