2. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами

a_n ∈ R, , a_n≥0, S_n+1=Sn+a_n+1≥Sn ,(Sn) – неубывающ.

(Sn) сх ∃число М, Sn≤М,Vn(т.Вейерштрасе)

Теор(Критерий сходимости ряда с неотр. Чл.): Для того, чтобы ряд с неотр. Чл. Сходился необх. И дост., чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Инт призн. Сход:

Теор(Коши-Маклорена):Пусть ф-ция f(x):[1;+∞) -> R обл св-ми:

1. Неотрицательна, т.е f(x)≥0, Vx∈[1;+∞)

2. Непрерывна на [1;+∞)

3. Невозрастающ. На [1;+∞), тогда и рядсх или расх одновр,схсх

а_n+1 ≤ ≤Sn (*) Sn-a₁≤≤Sn

I.Пустьсх и равенI, где I-число. Из (*) Sn-a₁≤a₁+≤ a₁++(≥0) ==a_{1 +I=M, Vn}

(Sn) – огр, a_n≥0, => по кр. Сх-ти ряда с неотр. Членами. сход. АсхA=>B

В сх Ā=> т. е. если ряд расх, то и интегр расх.

II.Пусть расх. , тогдаI_n+1 = неогр.

Из (*) Sn≥I_n+1=, т.е. послед (Sn)также неогр. по кр. Сход. Ряда с неотр член. Ряд расх. =>,A=>B, т. е если рядсх, то исх

НЕ(B=>A)

сх, если α>1, расх, еслиα≤1

сх, если α>1, расх, если α≤1

сх, если p>1, расх, если p≤1

3. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами

Теор 1. Если для рядов ивыполн нер-во 0≤a_n≤b_n для Vn∈N,

то ряд b_n сх =>ряд а_n сх или a_n расх =>b_n

Следствие

Если 0≤a_n≤b_n,где ∈ R, , то верно заключение теор 1.

Замечание: теор 1. Верна, если 0≤a_n≤b_n начинает выполние с некоторого места.

Теор 2. (предельный признак сравнения): Пусть b_n>0, a_n>0, для Vn∈N

Пусть ∃ =c, тогда:

1. Если 0<c<+∞, то ряды и сх или расходновременно

2. Если с=0, то из того, что сх след, что сх

3. Если с=+∞, то из того, что сх след, что сх,расх след, чторасх

Замечание:

1. С=1 ∃  a_n=b_n

2. A) ,a≠0, сх, если α<1, расх, если α≥1

B)сх, если α>1, расх, если α≤1

сх, если p>1, расх, если p≤1

4. Признак Даламбера для рядов с неотрицательными членами

Если ∃ (,a_n>0), то

1. При 0<l<1 ряд сх.

2. l>0 ряд расх.

3. l=1, ничего нельзя сказать

Док-во

, где l-число

 Vɛ>0 ∃ N=N(ɛ) Vn>N(ɛ) => || < ɛ

l - ɛ <<l+ ɛ ( l - ɛ)a_n<a_n+1<a_n(l+ɛ)

1. _0≤l<1

_Пусть l+ ɛ<1 α::= l+ ɛ

a_n+1<αa_n Vn≥N

и

= сх =>сх

2. l>1

Пусть ɛ>0, чтобы l-ɛ>0

>l- ɛ>1

a_n+1>a_n,Vn≥N(ɛ), a_n≠0=>ряд расх.

3. l=1

расх

1

5. Признак Коши для рядов с неотрицательными членами

Если ∃ (,a_n>0), то

1. При 0<l<1 ряд сх.

2. l>0 ряд расх.

3. l=1, ничего нельзя сказать

Док-во:

, где l-число

 Vɛ>0 ∃ N=N(ɛ) Vn>N(ɛ) => || < ɛ

l - ɛ <<l+ ɛ далее смотри предыдущую теорему

Замечания:

n!– ф-ла Стерлинга

6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующимся наз-ся следующий ряд

a_n1,-a_n2, a_n3,-(-1)^n-1a_n=

Теор(признак Лейбница) Если a_{n ↓0, т. е.}

1. =0

2. (a_n) монотонно убывает (не возраст.)

a_n≥a_n+1Vn, то сх, причем

(S-Sn)≤a_n+1

a_n=

_↓0,

7. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Знакопеременный ряд – ряд вида , содержащий как положительные, так и отрицательные члены. Пр:1) 1-1+1-1+1-1+1-1+…+(-1)+…=

Т: Если сходится ряд ,то сходится и ряд

Д-во:

сх => сх

0≤a_n + |a_n|≤2|a_n|

сх <=сх

=-

Сх <= cx и cx

Ряды с комплексными членами.

, z_n∈C

Z_n = a_n+i*b_n

cx  сх

Т: Если сх ряд , то сход и ряд

Д-во:

|z_n| = a_n ≤ =|z_n| b_n≤ =|z_n|

Дано:

cx  сх

↓ ↓

сх

1 и 2 => cx

, ∈R или ∈C

О: Если ряд cx, то ряд называетсяабсолютно сходящ.

Если ряд раcx, а сх, то рядназ.условно сходящ.

1. Сх сх абсол.

2. Расх сх условн

3. Расх расх

Т. Абсолютно сходящ ряд остается абс. Сход. При любой перестановке его членов, его сумма не изменяется.

Замечание: утверждение теор. справедливо для любого сх-ся знакопостоянного ряда

∈R

Т.(Римана) Если ряд a_n сход. усл, то какое бы и было наперед заданное число А, можно так переставить члены этого ряда, что сумма будет равна А. Более того, члены условно сх-ся ряда можно переставить так, что преобразованный ряд станет расходящимся.