Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Запись числа в одной системе счисления можно преобразовать в запись его в другой системе счисления. Пусть имеется число N в системе счисления с основанием p:

Требуется перевести данное число в новую систему счисления с основанием g, тогда число N запишется в новой системе счисления в виде:

т.е. задача сводится к отысканию коэффициентов b_i.

Для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления в другую его надо разделить на основание g той системы, в которую это число переводится. Полученное частное снова делится на g и т.д. до тех пор, пока частное не получится меньше, чем g. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Последнее частное дает старшую цифру.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему:

Рис. 1.3. Схема алгоритма перевода десятичного числа в двоичное

Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую эту дробь надо умножить на основание g той системы счисления, в которую она переводится. В качестве первой цифры дробной части числа в новой системе счисления взять целую часть результата. Затем умножить дробную часть полученного результата на g и в качестве следующей цифры дроби в новой системе взять целую часть второго результата и т.д. до тех пор, пока дробная часть результата окажется нулевой либо будет достигнута требуемая точность изображения дроби.

Например переведем десятичное число 0.0625 в восьмеричное:

0.0625

___8

05000

_8

40 0.0625₁₀=0.04₈

При переводе произвольных чисел отдельно переводятся целая о дробная части по приведенным выше правилам.

Для перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатиричную и наоборот можно воспользоваться следующим правилом: группа цифр из 3^х, 4^х разрядов двоичной системы заменяется на соответствующую цифру для восьмеричной, шестнадцатиричной системы и наоборот в соответствии с таблицей 1.3.

Таблица 1.3

Смешанные системы счисления

(двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатиричные)

Система счисления
двоичная	восьмеричная	десятичная	шестнадцатиричная
000	0	0000	0
001	1	0001	1
010	2	0010	2
011	3	0011	3
100	4	0100	4
101	5	0101	5
110	6	0110	6
111	7	0111	7
		1000	8
		1001	9
		1010	A
		1011	B
		1100	C
		1101	D
		1110	E
		1111	F

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одно разрядных двоичных чисел.

Таблица 1.4

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе.

Арифметические операции
Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 - 0 = 0	0 * 0 = 0
1 + 0 = 1	10 - 1 = 1	1 * 0 = 0
0 + 1 = 1	1 - 0 = 1	0 * 1 = 0
1 + 1 = 10	1 - 1 = 0	1 * 1 = 0

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равным или большим основанию, соответственно для двоичной системы, это число равно двум. При вычитании из нуля единицы осуществляется заем единицы из старшего разряда, отличного от нуля. При этом единица, занятая в этом разряде, дает две единицы в младшем разряде и по единице во всех разрядах между данным и младшим. Умножение сводится к многократному сложению и сдвигам, а при выполнении деления используются правила умножения и вычитания.

В качестве примера сложим двоичные числа 101₂ и 100₂.