4_-_Laboratorny_elektronny_praktikum

При защите работы требуется полно и четко ответить на два контрольных вопроса из приведенных ниже.

Контрольные вопросы

1 Что определяет точность измерений? Как она вычисляется? 2 Что понимается под коэффициентом вариации?

3 Как определяется абсолютная и относительная погрешности?

4 Почему относительная погрешность дает более наглядное представление точности измерения?

5 Назовите показатели оценки рассеивания наблюдаемых значений.

3.4 Задача № 4 Определение достаточного количества наблюдений

По заданным генеральной совокупности значений измеряемого параметра и доверительной вероятности выполнить расчеты доверительных интервалов для разных объемов выборки в последовательности, приведенной в методических указаниях ниже и определить достаточное количество наблюдений [16].

Для определения достаточного количества наблюдений необходимо взять 5 проб из разных мест наугад и построить график распределения (рис.3.1).

Нанести на нем границы доверительного интервала с квантилем распределения Стьюдента.

Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности Р и числа наблюдений n находят из таблицы 1 (Приложение А).

Если все значения измерений попадают в доверительный ин-

тервал, то полученное значение x принимается и выполнение расчетов заканчивается.

51

Если нет, то к первым пяти пробам добавляют еще 5 новых проб и наносят результаты измерений на ранее построенное распределение, проводят линию нового среднего значения параметра и границы нового доверительного интервала.

Если границы доверительных интервалов отличаются не более чем на 5 %, то принимают за действительное общее среднее значение десяти измерений.

Если границы интервала отличаются на большую величину, то определение повторяют, увеличив число проб еще на пять и т.д.

В заключении сделать вывод о достаточном количестве наблюдений и действительном значении измеряемого параметра x .

При защите работы требуется полно и четко ответить на два контрольных вопроса из приведенных ниже.

Рис. 3.1 Распределение результатов измерений (пример)

Контрольные вопросы

1 Как определить число измерений заданного параметра в зависимости от заданной доверительной вероятности?

2. Что определяет точность измерений? Как она вычисляется? 3 Что вы понимаете под коэффициентом вариации?

4 Как определяется абсолютная и относительная погрешности?

52

5 Почему относительная погрешность дает более наглядное представление точности измерения?

6 Назовите показатели оценки рассеивания наблюдаемых значений

3.5 Задача № 5 Оценка вида распределения случайной величины

Теоретическая часть.

Эмпирический ряд результатов измерений не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения совокупности, из которой взята выборка.

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, биномиальный, Пуассона и другие

Между тем знание закона распределения позволяет корректно применять статистические оценки полученных наблюдений и избежать возможных ошибок по выборочным характеристикам.

В технических измерениях чаще всего пользуются нормальным типом распределения.

Нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса, описывается зависимостью

где σ – параметр рассеивания распределения, равный среднеквадратическому отклонению.

Широкое использование нормального распределения на практике обусловлено теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимых факторов, воздействие каждого из которых незначительно по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону производится с помощью специальных крите-

53

риев. Причем более надежные оценки выявляются при объемах выборок более 50.

Впроизводственных условиях получение данных в таких объемах затруднительно и приходится довольствоваться выборками малых объемов.

При этом, исходя из законов математической статистики, считается, что при количестве измерений n < 10 проверить гипотезу о виде распределения результатов измерения невозможно.

При числе результатов наблюдений 10 < n < 50 для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий (ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений»).

Проверка нормальности распределения результатов наблюдений с использованием составного критерия.

Всоответствии с ГОСТ 8.207-76 применяется следующий порядок проверки по составному критерию.

Критерий 1.

Вычисляют значение d по формуле

где хi - результат i-го замера; n – количество наблюдений; x - результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений); n – количество наблюдений; S* – смещенная оценка среднеквадратического отклонения (СКО), вычисляемая по формуле:

Гипотеза о нормальности распределения на основании критерия 1 принимается, если при данном числе наблюдений n и выбранном уровне значимости q1 соблюдается условие

d1−q1 /2 < d ≤ dq1 /2 ,

54

где d1−q1 /2 и dq1 /2 - квантили распределения, получаемые из табл. 3.5 по n, dq1 /2 и d1−q1 /2 .

Таблица 3.5 - Статистика d

нормальному распределению, если не более m разностей превзошли значение S zP/2, где S - оценка среднеквадратического отклонения, вычисляемая по формуле

где zP/2 - верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности P/2 (табл.3.6).

Значения P определяются из табл. 3.7 по выбранному уровню значимости q2 и числу результатов наблюдений n.

При уровне значимости, отличном от предусмотренных в табл. 3, значение P находят путем линейной интерполяции.

В случае если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений для критерия 1 выбран уровень значимости q1, а для критерия 2 – q2, то результирующий уровень значимости составного критерия

q ≤ q1 + q2.

55

В случае если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Таблица 3.6 - Значения Р-процентных точек нормированной функции Лапласа

Контрольные вопросы

1 Чем обусловлено широкое применение нормального закона распределения?

2. С какой целью устанавливается закон распределения случайной величины?

3 При каких объемах выборки получаются более надежные оценки законов распределения?

4 При каких объемах выборки проверить гипотезу о виде распределения результатов измерения невозможно?

5 В каких случаях для проверки соответствия распределения данных нормальному закону применяют составной критерий?

3.6 Задача № 6 Статистические методы выявления систематической по-

грешности

56

Теоретическая часть

Систематические погрешности - составляющие погрешно-

сти измерений, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.

Систематические погрешности можно условно разделить на пять групп:

Первая группа - инструментальные погрешности из-за неисправностей средств измерений: люфтов, трения, неточности шкалы, износа и старения узлов и деталей;

Вторая группа - погрешности из-за неисправной установки средств измерений;

Третья группа - погрешности от внешней среды: высоких температур воздуха, магнитных и электрических полей, атмосферного давления и влажности, вибрации и колебаний движущегося транспорта и др.;

Четвертая группа - погрешности метода: из-за несовершенства методики измерений, отсутствия теоретического обоснования и т. п.;

Пятая группа - субъективные погрешности от индивидуальных физиологических, психофизиологических, антропологических свойств человека.

Способы исключения и учета систематических погрешностей:

•устранение источников погрешностей до начала измерений (профилактика погрешностей);

•исключение погрешностей в процессе измерения (экспериментальное исключение погрешностей);

•определение поправок и внесение их в результат измерения (исключение погрешностей вычислением);

•оценка границ систематических погрешностей, не поддающихся исключению.

Большая часть таких погрешностей может быть выявлена только путём детального анализа возможных их источников и уменьшена применением более точных приборов и совершенных способов измерений.

57

Устранение до начала измерения достигается предварительной поверкой применяемого средства измерения по эталонному образцу – наиболее точному измерительному прибору.

Устранение влияния внешних условий измерений достигается при влиянии:

температуры - различными способами термостатирования;

магнитных полей - с помощью магнитного экранирования;

вибраций - с помощью эластичных подвесок.

По характеру проявления систематические погрешности могут быть постоянными или переменными.

Постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях и может быть обнаружена путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.

Эффективным приемом исключения постоянных погрешностей являются их устранение в процессе измерения. Среди известных и простых приемов борьбы с постоянными систематическими погрешностями наиболее распространены методы замещения, противопоставления, компенсации и рандомизации.

Метод замещения - разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной. Например, взвешивание на рычажных весах по способу Борда. На одну чашку весов кладут взвешиваемую массу, на другую - специальный груз (песок, дробь), до уравновешивания весов. Затем взвешиваемую массу снимают и на ее место устанавливают гири до достижения равновесия. Суммарный вес гирь более точно соответствует взвешиваемой массе.

Метод противопоставления, когда измерения проводят два раза таким образом, чтобы причина систематической погрешности при втором измерении была противоположна по знаку по сравнению с первым измерением. Например, второе взвешивание массы проводят на другой чашке весов (взвешивание по способу Гаусса). Затем определяется среднее значение результатов двух взвешиваний.

Метод компенсации погрешности (метод изменения знака систематической погрешности) - предусматривает измерение с

58

двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками. Например, погрешность уровня нивелира выявляется его установкой в противоположных направлениях. Тогда измеряемый наклон определится как среднее по этим двум измерениям.

Метод рандомизации - наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.

Переменными систематическими погрешностями называются погрешности, изменяющиеся в процессе измерения. Они делятся на монотонно изменяющиеся, периодические и изменяющиеся по сложному закону.

Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.

Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы.

•Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей.

Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков "—" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков "+" и "-

"у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность.

•Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений

59

результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.

• Метод симметричных наблюдений, суть которого состоит в анализе трех сопряженных результатов из серии многократных измерений. В предположении одинакового изменения фактора, вызывающего монотонно изменяющуюся систематическую погрешность, результат измерения под номером N = i – 1 будет на столько же меньше результата с номером i, на сколько этот результат будет меньше "симметрично расположенного" относительно него следующего результата с номером i + 1. Такой метод может быть эффективным только в случае, когда соблюдаются приведенные допущения, а случайные составляющие погрешности результатов будут значительно меньше их систематического изменения.

Однако полностью устранить систематические погрешности затруднительно. Поэтому результаты наблюдений с неисключенными систематическими погрешностями называют неисправлен-

ными.

При проведении измерений стараются в максимальной степени выявить и учесть влияние систематических погрешностей путем установления границ неисключенных систематических погрешностей.

Выявить отсутствие или наличие переменной систематической погрешности на стадии анализа результатов помогают специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей и дисперсионный анализ, рассмотренные в данной лабораторной работе.

Способ последовательных разностей (критерий Аббе).

Пусть имеется выборка из n измерений х1, х2, … хn некоторого параметра х и его среднее значение x .

Чтобы вычислить значение критерия Аббе дисперсию σ2 результатов измерений оценивают двумя способами:

– обычным:

60