Метод последовательных разностей.

В ряде случаев вместо аналитического выравнивания с целью устранения тенденции можно применить метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит линейную тенденцию, её можно устранить путём замены исходных уровней ряда цепными приростами (первыми разностями). Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для её устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пример. Изучение зависимости по первым разностям предыдущего примера.

Составим таблицу.

Время
1	78,86	8,09	-	-
2	83,19	8,88	4,33	0,7875
3	83,18	8,91	-0,01	0,0375
4	79,7	9,00	-3,48	0,0875
5	76,67	9,29	-3,03	0,2875
6	76,54	9,28	-0,13	-0,0125
7	73,94	9,91	-2,6	0,6375
8	72,23	10,00	-1,71	0,0875
9	67,91	10,09	-4,32	0,0875
10	66,56	10,08	-1,35	-0,0125
11	62,85	10,31	-3,71	0,2375
12	59,78	11,00	-3,07	0,6875
13	56,96	11,09	-2,82	0,0875
14	49,92	11,08	-7,04	-0,0125
15	46,21	10,91	-3,71	-0,1625
16	37,36	10,80	-8,85	-0,1125

Коэффициенты автокорреляции первого порядка для первых разностей составят: и . Найдем уравнение регрессии по первым разностям . Коэффициент детерминации составит .

В отличие от уравнения регрессии по отклонениям от тренда, параметрам данного уравнения легко дать интерпретацию. При изменении прироста дохода на 1 д. е. прирост потребления изменяется в среднем на 0,49 д. е. в ту же сторону. При всей своей простоте метод последовательных разностей имеет два существенных недостатка. Во-первых, его применение связано с сокращением числа пар наблюдений, по которым строится уравне­ние регрессии, и, следовательно, с потерей числа степеней свободы. Во-вторых, использование вместо исходных уровней временных рядов их приростов или ускорений приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных.

Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.

Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения у, и х, есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК. Расчет и интерпретацию параметров покажем на примере.

Пример 6.3. Построение модели регрессии с включением фактора времени.

Вернемся к данным предыдущих примеров. Построим уравнение регрессии, описывающее зависимость расходов на конечное потребление у, от совокупного дохода х, и фактора времени. Для расчета параметров уравнения регрессии воспользуемся обычным МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

Подставив требуемые суммы, получим:

Решая эту систему, получим уравнение регрессии . Коэффициент детерминации составит , что означает, что данное уравнение достаточно точно описывает реальный процесс. Найдём значение , то есть, корреляцию между признаками без учёта фактора времени, используя матрицу парных коэффициентов корреляции , получаем =0,694398. Коэффициент детерминации равен Можно сделать вывод, что при использовании фактора времени уравнение достаточно точно описывает реальный процесс.

Проведем сравнительный анализ полученных результатов. Метод отклонения от тренда дает коэффициент детерминации , метод последовательных разностей , при использовании фактора времени . Следовательно, в данном случае метод последовательных разностей показал самую слабую связь между временными рядами.

Автокорреляция в остатках.

Критерий Дарбина-Уотсона.

Рассмотрим уравнения регрессии вида , где - число независимых переменных модели. Для каждого момента времени . Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить их зависимость от времени. Если каждое следующее значение зависит от предыдущих то это указывает на наличие автокорреляции в остатках.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во вторых, в ряде случаях причину автокорреляции остатков искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное влияние на результат, воздействие которого отражается в остатках.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина-Уотсона. И расчёт величины . Значение этого критерия табулировано. Покажем связь между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка, который определяется по формуле , где и . Так как остатки то можно предположить и . С учётом этих предположений . Преобразуем формулу для расчёта критерия Дарбина-Уотсона .

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то , следовательно . Если автокорреляция остатков отсутствует то и . Следовательно . Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной и отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа переменных в модели и уровня значимости . По этим значениям разбивают числовой промежуток на пять отрезков. Принятие и отклонения каждой из гипотез рассматривается в таблице

Есть положительная автокорреляция остатков. отклоняется, принимается .	Зона неопределённости	Нет оснований отклонять гипотезу . Автокорреляция остатков отсутствует.	Зона неопределённости	Есть отрицательная автокорреляция остатков. отклоняется, принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределённости, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу

Пример. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

1	6	6,425	-0,425	0,180625
2	4,4	4,225	0,175	0,030625	-0,6	0,36
3	5	4,975	0,025	0,000625	0,15	0,0225
4	9	9,075	-0,075	0,005625	0,1	0,01
5	7,2	7,175	0,025	0,000625	-0,1	0,01
6	4,8	4,975	-0,175	0,030625	0,2	0,04
7	6	5,725	0,275	0,075625	-0,45	0,2025
8	10	9,825	0,175	0,030625	0,1	0,01
9	8	7,925	0,075	0,005625	0,1	0,01
10	5,6	5,725	-0,125	0,015625	0,2	0,04
11	6,4	6,475	-0,075	0,005625	-0,05	0,0025
12	11	10,575	0,425	0,180625	-0,5	0,25
13	9	8,675	0,325	0,105625	0,1	0,01
14	6,6	6,475	0,125	0,015625	0,2	0,04
15	7	7,225	-0,225	0,050625	0,35	0,1225
16	10,8	11,325	-0,525	0,275625	0,3	0,09
			0	1,01		1,22

Значение критерия Дарбина-Уотсона равно .

Сформулируем гипотезы:

- в остатках нет автокорреляции;

- в остатках есть положительная автокорреляция;

- в остатках отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости . По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений и числа независимых переменных критические значения и . Так как расчётное значение критерия больше и меньше то есть попадаем в критическую область , следовательно есть незначительная положительная автокорреляция.