22.2. Эмпирические моменты.
Обычным эмпирическим моментомпорядка k называют среднее значение k-х степеней разностей xi-C:
где xi– наблюдаемая варианта, ni– частота варианты, n – объем выборки, C – произвольное постоянное число (ложный нуль).
Начальным эмпирическим моментомпорядка k называют обычно момент порядка k при C = 0
В частности,
т. е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней.
Центральным эмпирическим моментом
порядкаk называют обычный момент
порядка k C =
В частности,
т. е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.
22.3. Метод условных вариант.
Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т. е. виде вариационного ряда.
Равноотстоящиминазывают варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.
Условныминазывают варианты, определяемые равенством
ui= (xi–C)/h,
где C– ложный нуль (новое начало отсчета);h– шаг, т. е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).
Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными.
23.
23.1. Точечные оценки параметров распределения.
Точечная оценка предполагает нахождение единственной числовой величины, которая и принимается за значение параметра. Такую оценку целесообразно определять в тех случаях, когда объем ЭД достаточно велик. Причем не существует единого понятия о достаточном объеме ЭД, его значение зависит от вида оцениваемого параметра (к этому вопросу предстоит вернуться при изучении методов интервальной оценки параметров, а предварительно будем считать достаточной выборку, содержащую не менее чем 10 значений). При малом объеме ЭД точечные оценки могут значительно отличаться от истинных значений параметров, что делает их непригодными для использования.
Задача точечной оценки параметров в типовом варианте постановки состоит в следующем .
Имеется: выборка наблюдений (x1, x2, …, xn) за случайной величиной Х. Объем выборки n фиксирован.
Известен вид закона распределения величины Х, например, в форме плотности распределения f(T, x), где T – неизвестный (в общем случае векторный) параметр распределения. Параметр является неслучайной величиной.
Требуется найти оценку q параметра T закона распределения.
Ограничения: выборка представительная.
Существует несколько методов решения задачи точечной оценки параметров, наиболее употребительными из них являются методы максимального (наибольшего) правдоподобия, моментов и квантилей.
24.
24.1. Метод моментов определения параметров распределения.
Метод предложен К. Пирсоном в 1894 г. Сущность метода: выбирается столько эмпирических моментов, сколько требуется оценить неизвестных параметров распределения. Желательно применять моменты младших порядков, так как погрешности вычисления оценок резко возрастают с увеличением порядка момента; вычисленные по ЭД оценки моментов приравниваются к теоретическим моментам; параметры распределения определяются через моменты, и составляются уравнения, выражающие зависимость параметров от моментов, в результате получается система уравнений. Решение этой системы дает оценки параметров распределения генеральной совокупности.
25.