Раздрорин Артём / НГ Короткий КОНСПЕКТ

ставленную из “кусочков” алгебраических кривых. В любой графической программе обязательно есть команда “начертить сплайн”, то есть провести гладкую кривую через указанные точки. Этот компьютерный инструмент существенно расширил возможности графического решения учебных и прикладных геометрических задач.

На языке алгебры сплайном называют составную гладкую кривую линию, состоящую из “кусочков” алгебраических кривых, чаще всего – кривых третьего порядка. Такую составную кривую (плоскую или пространственную) называют кубическим сплай-

ном [14].

В начертательной геометрии сплайны используются для построения гладких кривых линий, проходящих через данные точки.

Понятие “гладкая кривая” имеет точный математический смысл. Составную кривую называют кривой первого порядка гладкости, если ее смежные составляющие имеют в стыковых точках общую касательную. Если кривизна составной линии меняется непрерывно (не возникает “скачков” радиуса кривизны в точках стыка), то такая кривая имеет второй порядок гладкости. С этих позиций ломаная линия представляет собой составную кривую нулевого порядка гладкости, а кубический сплайн – кривая второго порядка гладкости.

14.5.2. Кривые второго порядка

Кривые второго порядка очень распространены как в природе, так и в технике. Например, планеты движутся по эллиптическим траекториям, а снаряд летит по параболе. Если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться вокруг Земли по эллипсу. По достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Еще в древней Греции было известно (3 век до нашей эры), что в сечении конуса плоскостью возникают кривые второго порядка. За два с лишним тысячелетия теория кривых второго порядка приобрела законченную форму. Для точного вычерчивания кривых второго порядка было изобретено множество разнообразных механических устройств (эллипсографы, параболические циркули и др.).

С развитием средств компьютерной графики стало возможным вычерчивать кривую второго порядка, проходящую через заданные точки или имеющую заданные касательные [16].

Рис. 14.8

Как известно (см. лекцию 6), кривая второго порядка вполне определена своими пятью точками. Через пять точек проходит единственная кривая второго порядка (так же, как через две точки проходит единственная прямая линия).

160

Вопросы для повторения

1.Что называют компьютерной графикой?

2.Что такое “система автоматизированного проектирования”? Какие программные средства содержатся в САПР?

3.Назвать характерные особенности 3D-графики, отличающей ее от обычной 2Dграфики. Что общего между этими видами графики?

4.Используется ли в трехмерной компьютерной графике метод проецирования? Ели да, то с какой целью?

5.В чем состоит основное назначение трехмерного компьютерного моделирования?

6.Какие новые возможности в построении кривых линий предоставляет компьютерная графика?

161

Лекция 15

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Начертательная геометрия – раздел математики, в котором изучается теория конструктивных методов отображения пространств различной размерности друг на друга. В конструктивном методе отображения исходное пространство и его модель “связаны” некоторой проекционной системой, включающей в себя проецирующие линии и поверхности. В этой главе рассмотрен простейший конструктивный способ отображения четырехмерного пространства E4 на плоскость – обобщенный чертеж Монжа.

Многомерная геометрия возникла путем аналогии с геометрией на плоскости и с геометрией в трехмерном пространстве. На прямой линии точка задается одной координатой, на плоскости – двумя, в пространстве – тремя координатами. Для определения положения точки в четырехмерном пространстве надо указать четыре ее координаты.

На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве – три. Как на плоскости, так и в пространстве каждая из осей координат может быть выбрана перпендикулярно другим осям. В четырехмерном пространстве система декартовых координат содержит четыре оси, причем любая пара этих осей перпендикулярна друг другу. Такое пространство существует лишь в воображении, так как реальное пространство трехмерно. Поэтому увидеть или смоделировать в буквальном, физическом смысле фигуры четырехмерного пространства никто не в состоянии. Увидеть эти фигуры и исследовать их свойства возможно только мысленно.

Человек, который впервые слышит о четырехмерном пространстве, готов возразить: “Но ведь не может быть четырех прямых, которые друг другу перпендикулярны!”. Действительно, в реальном трехмерном пространстве такая геометрическая конструкция невозможна. Но в виртуальном, воображаемом пространстве E4 все четыре оси x, y, z, t декартовой системы координат могут быть приняты взаимно перпендикулярными.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четверки чисел как координаты точки, исследовать свойства этих “четырехмерных точек”, составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постепенно формируя таким образом геометрию четырехмерного пространства.

15.1. Точка, прямая, плоскость, гиперплоскость пространства E4

Чертеж для моделирования четырехмерного пространства состоит из трех полей проекций: П1=Oxy, П2=Oxz, П3=Oxt, где x, y, z, t – оси ортогональной системы координат. Точка A ортогонально проецируется на три плоскости проекций, затем вращением вокруг оси Ox плоскости П1, П2, П3 совмещаются. При этом проекции A1, A2, A3 данной точки располагаются на одной линии связи, перпендикулярной оси Ox (рис. 15.1). Такой чертеж называют обобщенным чертежом Монжа.

Полученный чертеж является обратимым, так как на нем имеются четыре отрезка, определяющие координаты xA, yA, zA, tA точки A в пространстве E4. Точку называют пространством нулевой размерности или 0-плоскостью.

Прямая определяется двумя своими точками. Указав проекции двух произвольных точек A, B и соединив одноименные проекции, получим чертеж прямой общего положения в пространстве E4 (рис. 15.2). Прямая – одномерное пространство (1-плоскость).

Плоскость в пространстве E4, точно так же, как и в E3, задается тремя точками A, B, C (рис. 15.3), или точкой и прямой, или двумя пересекающимися прямыми. Плоскость – двумерное пространство (2-плоскость). Это пространство заполнено принадлежащими

162

перплоскости в E4 определяется четырьмя параметрами (например, четырьмя отрезками, отсекаемыми гиперплоскостью на осях координат). В четырехмерном пространстве наше привычное пространство E3 становится лишь частью (подпространством) объемлющего пространства E4.

15.2. Инцидентность элементов гиперплоскости пространства E4

Гиперплоскость четырехмерного пространства содержит “вложенные” в нее линейные элементы: точки, прямые и плоскости. Взаимопринадлежность (инцидентность) этих элементов определяется следующим признаком: точка инцидентна гиперплоско-

сти, если она принадлежит какой-либо прямой или плоскости, вложенной в данную гиперплоскость.

Пусть гиперплоскость Σ3 задана четырьмя точками A, B, C, D (здесь и далее надстрочный индекс обозначает размерность подпространства). Требуется построить ка- кую-либо точку, инцидентную данной гиперплоскости. Покажем, что можно совершенно произвольно указать две проекции искомой точки, после чего найти ее третью проекцию из условия принадлежности гиперплоскости (рис. 15.5).

Произвольно отмечаем на чертеже две проекции K1, K2 некоторой точки K четырехмерного пространства и “объявляем” ее принадлежащей гиперплоскости Σ3. В гиперплоскости Σ3 выделим плоскость 2=AMN, проходящую через точку K. В плоскости 2 проводим прямую AK, которая в точке 1 пересекается с MN.

Задача решена, так как точка K принадлежит гиперплоскости Σ3. Действительно, точка K инцидентна прямой A-1, вложенной в плоскость 2, которая, в свою очередь,

164

вложена в Σ3. Недостающая проекция K3 точки K определяется на чертеже посредством линий связи (из условия принадлежности точки K данной гиперплоскости).

Подобным образом задача на принадлежность точки плоскости решается в обычном пространстве E3: для построения точки, принадлежащей плоскости, указывают одну проекцию искомой точки. Вторая проекция определяется из условия принадлежности точки данной плоскости.

Правило. Для построения точки, принадлежащей гиперплоскости, достаточно указать две ее проекции. Третья проекция определяется из условия принадлежности точки данной гиперплоскости.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется построить точку L пересечения прямой l=AB и плоскости 2=EFG, вложенной в гиперплоскость ABCD (рис. 15.6). Оба линейных элемента (прямая l и плоскость 2) принадлежат одной и той же гиперплоскости ABCD, поэтому достаточно найти две проекции искомой точки. Для этого может быть использована любая пара проекций обобщенного чертежа. Рассматривая проекции П1 и П2 как чертеж тетраэдра ABCD, находим точку пересечения ребра тетраэдра l=AB и плоскости 2: проводим через l вспомогательную плоскость Σ2, находим линию 1-2 пересечения плоскостей 2 и Σ2 и отмечаем искомую точку L=l∩(1-2). Третья проекция L3 точки L определяется по линии связи.

15.3.Пересечение подпространств четырехмерного пространства

ВE4 существуют линейные подпространства: точки, прямые, плоскости и гиперплоскости. Эти подпространства либо “вложены” друг в друга, либо пересекаются (инцидентны), либо вовсе не имеют общих элементов (скрещиваются).

166

надлежат гиперплоскости Oxyz. Поэтому общим элементом гиперплоскостей Σ3(Oxyz) и Θ3 является множество точек гиперплоскости Θ3, координата которых по оси t равна нулю. Этому условию удовлетворяют все точки и прямые плоскости ABC, где A, B, C – точки пересечения прямых a, b, c и гиперплоскости Oxyz. Следовательно, ABC есть плоскость пересечения двух гиперплоскостей.

15.3.6. Размерность пространства пересечения

Отметим определенную закономерность, возникающую при пересечении подпространств различной размерности в объемлющем трех или четырехмерном пространстве. Так, например, плоскость (пространство размерности 2) и прямая (пространство размерности 1) пересекаются в обычном трехмерном пространстве в одной точке (пространство нулевой размерности).

Можно предположить, что размерность пространства пересечения равна сумме размерностей пересекающихся подпространств (в нашем примере: два плюс один) минус размерность объемлющего пространства (три). Для рассмотренного примера получаем ноль (размерность точки), что соответствует действительности. Проверим свое предположение, подсчитав, например, размерность пространства пересечения двух гиперплоскостей четырехмерного пространства: три плюс три (размерности пересекающихся подпространств) минус четыре (размерность объемлющего пространства) – получаем два (размерность плоскости), что соответствует модели четырехмерного пространства.

Продолжая “экспериментальную проверку”, убеждаемся, что во всех случаях пересечения двух подпространств выполняется соотношение

r=p1+p2-n,

где r – размерность пространства пересечения двух подпространств размерности p1 и p2, вложенных в объемлющее пространство размерности n. Если полученное значение r меньше нуля, то данные подпространства не пересекаются. Например, для плоскости и прямой в пространстве R4 получаем размерность их общего пространства r=-1, что означает отсутствие пересечения (обычная плоскость и прямая общего положения в четырехмерном пространстве не пересекаются).

15.4.Перпендикулярность в четырехмерном пространстве

Вобычном трехмерном пространстве для построения точки пересечения прямой и плоскости или линии пересечения двух плоскостей используется вспомогательный “геометрический инструмент” – проецирующая плоскость, то есть плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций. Проекция такой плоскости вырождается в прямую линию.

При переходе в четырехмерное пространство основным вспомогательным инструментом становится “проецирующая гиперплоскость”, то есть трехмерное подпространство, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций. Проекция всего трехмерного подпространства на эту плоскость проекций вырождается в прямую линию.

Может показаться странным, что бесконечная по количеству элементов и ничем не ограниченная в пространстве гиперплоскость (трехмерное множество) не заполняет собой все предоставленное ему пространство (пусть даже и четырехмерное). Кажется еще более странным, что изображение трехмерного пространства может выглядеть прямой линией.

Тем не менее, нас не удивляет, что двумерное пространство (обычная плоскость) не заполняет собой все трехмерное пространство, хотя плоскость ничем не ограничена и

168