2.3. Вычисление текущей стоимости денег

Текущая стоимость денег, равная сегодняшней ценности будущих денежных сумм, рассчитывается методом обратным, рассмотренному в п. 2.2. (см. формулу 2.2.4). Текущая стоимость определяется с помощью операции называемой дисконтированием. При этом, как правило, ставка дисконта и процентная ставка отождествляются. Это упрощение не всегда оправдано (см. табл. 2.1.1.), оно допустимо лишь для эволюционно развивающейся экономики с нормальной ставкой процента (<15 %). Когда это имеет место, из формулы (2.2.4) находим

PV=FV(1+r)^-n=FVF₂(r,n) (2.3.1)

Величина F₂(r, n) называется дисконтным множителем и показывает текущую стоимость денежной единицы, которая будет получена через "n" лет при процентной ставке "r" (см. приложение 2).

Если проценты начисляются не ежегодно, а "m" раз в год, то из формулы (2.2.5) находим:

(2.3.2)

Пример 6.Через 5 лет предстоит получить сумму в размере 30 тыс. руб. В течение 5-летнего периода на каждую денежную единицу начисляются проценты или дивиденды по ставке 25 % в год. Во сколько стоит оценить сегодня будущий доход размером в 30 тыс. руб.

Решение.По формуле (2.3.1) находим:

PV=30 тыс. руб.(1 + 0,25)^-5=9,83 тыс. руб.

Пример 7.Какую сумму нужно положить сегодня на депозит, чтобы через 4 года инвестор мог получить 50 тыс. руб. Депозитная ставка равна 14 %.

Решение.По формуле (2.3.1) определяем:

PV=50 тыс. руб.(1 + 0,14)^-4=29,6 тыс. руб.

Пример 8.Определить текущую стоимость 100 тыс. руб., которые будут выплачены через 7 лет, если в течение всего этого периода на первоначальную сумму начисляются ежеквартально проценты по ставке 23 % годовых.

Решение.По формуле (2.3.2) вычисляем:

PV=100 тыс. руб. (1 +)^-74=100 тыс. руб.0,209=20,9 тыс. руб.

2.4. Финансовая рента. Вычисление наращенной суммы.

Рента (нем., фр.) – регулярно получаемый доход на капитал, облигации государственных займов, имущество или землю. Синоним (лат.) - аннуитет.

Во многих современных финансовых операциях имеют место не разовые платежи, а серия выплат/доходов - взносы в пенсионный фонд, арендные платежи, погашение долгосрочного кредита, получение процентов по ценным бумагам, депозитам и т.п. В этих случаях приходится оценивать текущую и будущую стоимость денежных потоков, а не единичных расходов или поступлений.

Последовательность фиксированных (равных) платежей или доходов, производимых через одинаковые интервалы времени в течение ограниченного (срочная) или неограниченного (бессрочная) времени называется финансовой рентой или аннуитетом.

Предполагается, что платежи не распределены во времени, а сконцентрированы либо в начале (поток пренумерандо), либо в конце временного интервала (поток постнумерандо). Потоки легко переводятся друг в друга: FV_prе=(1+r)FV_pst ,PV_prе=(1+r)PV_pst . На практике, особенно при анализе инвестиционных проектов, больше распространен поток постнумерандо.

Решим сначала простую задачу – нахождение будущей стоимости денежного потока (капитализации, компаундинга, наращенной суммы). Задача решается просто: поток рассматривается как сумма разрозненных отдельных платежей/доходов и к каждому члену этой суммы применяется формула (2.2.2), оценивающая будущую стоимость этого члена. Затем производится суммирование, которое и дает будущую стоимость денежного потока. Процедура представлена на рис. 2.4.1.

Год	0	1	2	. . . . .	n-1	n	Будущая (для t=n) стоимость платежа/ дохода
Текущая стоимость платежа/ дохода		А	А	. . . . .	А	А

А1

А(1+r)

А(1+r)^n-2

А(1+r)^n-1

Рис. 2.4.1. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо.

Если сложить все члены (будущие стоимости) последнего столбца (см. рис. 2.4.1) получим выражение, которое является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем (1+r). Формула для нахождения суммы (S_n=a₁(1+q+q²+…+q^n-1) =a₁(qⁿ-1)/(q-1)) дает значение:

FV^A=A(1+(1+r)+(1+r)²+…..+(1+r)^n-1)=

=A = AF₃(r,n) (2.4.1)

В этой формуле выражение F₃(r,n) является будущей стоимостью единичного денежного потока, длящегося "n" периодов с процентной ставкой "r". Эта функция в силу частой применимости протабулирована и входит в набор стандартных функций для финансовых расчетов. Она также называется коэффициентом наращения ренты, коэффициентом капитализации денежного потока (см. приложение 3).

Если денежные платежи/поступления идут не раз в год, а "m" раз, то будущая стоимость аннуитета находится по формуле, которая является модификацией формулы (2.4.1):

FV^A=A = AF₃(, nm) (2.4.2)

Пример 9. Помещение сдается в аренду на 7 лет. Арендные платежи вносятся ежегодно в конце года (поток постнумерандо) в размере 200 тыс. руб. и вносятся в банк на счет владельца помещения. Банк на внесенные суммы начисляет процент по ставке 20 % годовых. Найти сумму, которую получит владелец помещения в конце срока аренды. Предполагается, что деньги со счета сниматься не будут в течение всего 7-летнего периода.

Решение.По формуле (2.4.1) находим:

FV^A=200 тыс. руб. =200 тыс. руб./год12,915 год=2583 тыс. руб.

Пример 10.До погашения облигации остается 5 лет. Процентные платежи по ней осуществляются два раза в год из расчета 24 % годовых. Номинальная стоимость облигации равна 700 руб. Будем считать, что процентные платежи инвестируются под 30% годовых. Найти капитализированную сумму, которой будет располагать инвестор после погашения облигации.

Решение. Искомая сумма будет состоять из двух величин: будущей стоимости аннуитета (процентных выплат) и номинальной стоимости облигации.

Величина процентных выплат равна:

А=700 руб.84 руб.

Искомая сумма будет (см формулу (2.4.2)) равна:

FV=84=84 руб/год20,3 год +700 руб. =1705+700=2405 руб.