Управленческие решения / mat_Gelrud / ТЕМА05

Тема 5

Общая задача линейного программирования

Линейное программирование является одним из методов решения общих задач оптимизации, в которых учитывается большое число переменных, подчиненных определенным ограничениям. При решении этих задач необходимо получить оптимальное значение определенного критерия эффективности (функции цели), например прибылей, затрат, количества произведенных продуктов или других по-казателей, при условии, что удовлетворяются поставленные ограничения. Эти ограничения в свою очередь носят различный характер и объясняются условиями производства, управления, сбыта, хранения, наличием сырья или законодательными положениями.

Линейное программирование можно использовать для решения задач оптимизации, в которых выполняются следующие условия:

1. Необходимо наличие линейной функции цели, оптимальное значение которой необходимо отыскать. Требование линейности существенно для применения методов, изложенных в этой и следующей теме. Линейность означает, например, что для изготовления 10 изделий потребуется в10 раз больше средств, чем для получения одного изделия, или для получения 5 изделий уйдет в 5 раз больше времени, чем на изготовление одного изделия, и т.д. Если же такое допущение пропорциональной зависимости неверно или нельзя получить линейную функцию за счет преобразования переменных, то методы линейного программирования неприменимы.

2. Ограничения также должны быть заданы в виде системы линейных равенств или неравенств.

Если задача поставлена правильно, то можно использовать методы линейного программирования для ее решения.

Рассмотрим следующую производственную задачу:

Необходимо произвести два вида продукции в объемах х₁ и х₂, используя три ресурса, которые имеются в количестве в₁, в₂,в₃, соответственно. Известны нормативы потребления ресурсов на производство единицы первого и второго вида продукции:

а₁₁-количество первого ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

а₁₂-количество первого ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

а₂₁-количество второго ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

а₂₂-количество второго ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

а₃₁-количество третьего ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

а₃₂-количество третьего ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

Пусть с₁ и с₂ – прибыль от реализации единицы первого и второго вида продукции. Это постоянные факторы данной задачи. Придадим им конкретные числовые значения и сведем в табл.5.1.

Таблица 5.1.

		Изделие 1(х1)	Изделие 2(х2)		Наличие
Ресурс 1	а11 = 2			а12 = 1		в1 = 12
Ресурс 2	а21 = 2			а22 = 3		в2 = 18
Ресурс 3	а32 = 1			а32 = 3		в3 = 15
Прибыль	с1 = 5			с2 = 6

Производственная задача формулируется следующим образом:

Найти такие объемы производства продукции х₁ и х₂, при которых потребление ресурсов в соответствии с нормативами не превышало бы их наличия, и при этом прибыль от реализации продукции была бы максимальна.

Предполагая, что количество потребляемых ресурсов, а также прибыль пропорциональны объемам производства, получаем следующую математическую модель задачи:

(I) 2х₁ + 1х₂  12

(II) 2х₁ + 3х₂  18

(III) 1х₁ + 3х₂  15 (5.1.)

х₁  0, х₂  0

F=5х₁ + 6х₂----> max

Система неравенств (5.1) отражает ограничения на потребляемые ресурсы, а целевая функция F определяет прибыль, которую необходимо максимизировать. Пару чисел х₁ и х₂, удовлетворяющих системе ограничений (5.1), будем называть допустимым планом, а допустимый план, дающий максимальное значение целевой функции F – оптимальным планом (решением).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию данной задачи.

Каждой паре чисел х₁ и х₂ поставим в соответствие точку плоскости (2-мерного пространства) с координатами х₁ и х₂, тогда каждое ограничение (5.1) задает полупространство, а вся система (5.1) определяет многоугольник (в n-мерном пространстве - многогранник), полученный в результате их пересечения. В общем случае многогранник может быть неограниченным или пустым (система неравенств противоречива).

В данном примере множество допустимых планов соответствует на плоскости множеству точек многоугольника OABCD(рис 5.1.).

Целевая функция F=5х₁ + 6х₂ определяет на плоскости семейство прямых линий (в n-мерном пространстве – плоскостей), параллельных друг другу, причем, чем дальше прямая от точки О, тем большее значение принимает целевая функция. Таким образом, оптимальное решение будет в точке многоугольника OABCD, где целевая функция касается этого многоугольника в последний раз при удалении от точки О.

X2
11	(I)
10
9
8
7F
6					n
5A		B
4
3	n2			C					(III)
2							(II)
1	n1	2	3	4	5 D	6	7	8	9	10	11	12	14	15

O Рис.5.1. Графическое представление задачи 1 X₁

В нашем примере это будет вершина многоугольника С с координатами (примерно) х₁ = 4.5; х₂ =3. Для точного определения координат точки С рассмотрим уравнения прямых, пересечение которых ее образовало.

Получаем систему из двух уравнений:

2х₁ + 1х₂ = 12

2х₁ + 3х₂ = 18

решив которую получим точные значения х_{1 ,} х_2.

Метод решения системы линейных уравнений может быть использован любой, однако, в целях сокращения объема вычислений при дальнейшем изложении предлагается метод Крамера.

Напомним кратко его суть:

Для решения системы

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ = в₁

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ = в₂

Вычисляем  = а₁₁ а₂₂  а₁₂ а₂₁

₁ = в₁ а₂₂  а₁₂ в₂

₂ = а₁₁ в₂  в₁ а₂₁

откуда х₁ = ₁ /  ; х₂ = ₂ / .

В нашем примере:

=23 – 12 = 4,

₁ = 123 – 118 = 18,

₂ = 2 18 – 12 2 = 12 ,

откуда х₁ = 18 / 4 = 4.5, х₂ = 12 / 4 = 3 (совпало с первоначальным приближением).

Вычислим значение целевой функции в точке С:

F = 5  4.5 + 6 3 = 40.5

Таким образом мы решили поставленную задачу, нашли объемы производства х₁ первого и х₂ второго вида продукции, удовлетворяющие ограничениям (5.1) и доставляющие максимальное значение целевой функции F = 40.5 усл.ед.

Рассмотрим еще одну задачу ( ее часто называют задачей о диете, хотя аналогичной математической моделью можно описывать задачи, ничего общего с диетой не имеющие.) Таблица 5.2

Виды кормов	Содержание в 1 кг			Себестоимость 1 кг (усл. ед).
	Кормовых единиц	Белок гр.	Кальций гр.
Сено (х1)	0.5	50	10	1.5
Концентраты(х2)	1	200	2	2.5
Норматив	20	2000	100

Под нормативом понимается необходимый минимум питательных веществ суточного рациона. В этой задаче необходимо найти такие объемы кормов х₁, х_{2 ,} чтобы обеспечить содержание в них кормовых единиц, белка и кальция не менее нормативного при минимальной стоимости. Опять же предполагая, что количество полезных веществ, а также стоимость пропорциональны объемам кормов, получаем следующую математическую модель задачи:

(I) 0.5х₁ + 1х₂  20

(II) 50х₁ + 200х₂  2000

(III) 10х₁ + 2х₂  100 (5.2.)

х₁  0, х₂  0

F=1.5х₁ + 2.5х₂----> min

Геометрическую интерпретацию данной задачи приведем на рис.5.2.

X2
50
A
(II)
40
35
30
F		n
20	B
(III)
10					(I)
5							C

^{5 10 15 20 25 30 35 40} X₁

Рис.5.2. Графическое представление задачи 2

В данном случае множество допустимых планов представляет собой неограниченный многоугольник, заштрихованный на рис.5.2.

Целевая функция принимает наименьшее значение в точке В.

Визуально на графике координаты этой точки х₁  7, х₂  17.

Сделаем аналитическую проверку:

=0.52 – 110 = -9

₁ = 202 – 1100 = -60

₂ = 0.5 100 – 20 10 = -150

Откуда х₁ = -60 / -9 = 6.67, х₂ = -150 / -9 = 16.67

Мы рассмотрели сейчас предельно упрощенные примеры, преследуя исключительно иллюстративные цели, однако их анализ позволит осмыслить общие идеи и математические методы, лежащие в основе решения подобных задач.

В обоих примерах множество допустимых планов определяется

точками выпуклого многогранника, полученного в результате пересечения полупространств, заданных линейными неравенствами (5.1) и (5.2). Линейная целевая функция при двух переменных задает на плоскости семейство параллельных прямых, при трех переменных – семейство параллельных плоскостей в трехмерном пространстве, а в случае n переменных – семейство параллельных (n-1)–мерных пространств (гиперплоскостей) в n-мерном пространстве.

Линейные ограничения и линейная целевая функция появились в наших примерах благодаря предположению о пропорциональной зависимости переменных и постоянных факторов.

В силу этого подобный класс задач называют задачами линейного программирования.

Геометрически решение задачи линейного программирования сводится к следующим этапам:

а) определение области допустимых планов, т.е. построение соответствующего ограничениям многогранника;

б) перемещение гиперплоскости целевой функции в пространстве параллельно самой себе до тех пор, пока она не будет максимально (минимально) удалена от начала координат и при этом будет иметь хотя бы одну общую точку с многогранником допустимых планов.