2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.

Эта модель отличается от предыдущей только тем, что превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку конечный. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 2.5.2. Убывание запаса в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 2.5.1 характеризует накопление дефицита. Каждый период пополнения запаса t_s состоит в данном случае из суммы двух интервалов, где t₁ – время, в течение которого производится потребление запаса, t₂ – время, когда накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии.

s

q

t₁ t₂ t₁ t₂ t₁ t₂ t₁ t₁ t₂

t_s t_s t_s t_s t_s

Т

Рис. 2.5.2. Кривая запасов. Модель с дефицитом.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s теперь не равен размеру заказа q, а меньше его на величину дефицита q - s, накопившегося за время t₂.

Из подобия треугольников на рис.2.5.2 имеем

t₁ / t_s = s / q, t₂ / t_s = (q – s) / q. (2.5.5)

Средний запас за время t₁ равен s/2. Поэтому затраты на хранение за время t₁ составляют t₁c₂s/2. Пусть c₃ – величина штрафа за нехватку одной единицы продукции в единицу времени, тогда при среднем уровне дефицита за время t₂, равном (q – s)/2, штраф за это время составляет t₂c₃(q – s)/2. Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за время t_s равны c₁ + t₁c₂s/2 + t₂c₃(q – s)/2 или, поделив на t_s, получаем общие затраты в единицу времени:

c₁/ t_s + (t₁ /t_s)c₂s/2 + (t₂ /t_s)c₃(q – s)/2.

Подставляя сюда (2.5.5) и t_s = q / , получаем выражение для общих затрат в единицу времени как функции от q и s:

с(q, s) = с₁/q + с₂s²/(2q) + c₃(q – s)²/(2q). (2.5.6)

Из уравнения (2.5.6) находим оптимальные значения объема заказа q* и максимального уровня запаса s*, при которых функция с (2.5.6) принимает минимальное значение. Для этого приравниваем частные производные с/q, с/s к нулю и после упрощений получаем систему уравнений:

s = qс₃ /(с₂ + с₃), (2.5.7)

q² с₃ - (с₂ + с₃)s² = 2с₁.

Решая эту систему относительно q и s, находим

q* = 2 с₁/ с₂ (с₂ + с₃)/ с₃ и s* = q*с₃ /(с₂ + с₃). (2.5.8)

Определим минимальные ожидаемые суммарные накладные расходы за весь период Т:

С* = Тс(q*, s*) =Т2с₁с₂с₃ /(с₂ + с₃). (2.5.9)

Оптимальный интервал времени между заказами равен:

t_s* = q* / = 2 с₁/( с₂)(с₂ + с₃)/ с₃ . (2.5.10)

При сравнении результатов, полученных для моделей без дефицита и с дефицитом, можно заметить, что уравнения (2.5.2)-(2.5.4) можно получить из уравнений (2.5.8)-(2.5.10), если с₃  , действительно, отсутствие дефицита соответствует бесконечно большому штрафу за неудовлетворенный спрос. Отметим также, что ожидаемые суммарные расходы в модели с дефицитом меньше, чем в модели без дефицита, т.к. они отличаются на величину  =с₃/(с₂+с₃)  1. Коэффициент  называется плотностью убытков из-за неудовлетворительного спроса и играет важную роль в управлении запасами.

Пример 2.5.3. Пусть сохраняются все условия примера 2.5.1, но только штраф с₃ за нехватку теперь равен 0.4 руб. за одно изделие в день. Из уравнений (2.5.8)-(2.5.10) получаем:

q* = 21000100/0.2(0.2 + 0.4)/ 0.4 = 1225 ед.,

s* = 12250.4 /(0.2 + 0.4) = 817 ед.,

С* = 365210000.21000.4 /(0.2 + 0.4) = 59604 руб.,

t_s* = 1225 /100 = 12.25 дней.

При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода составлял бы 1225 – 817 = 408 изделий.