Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторная работа 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

363.76 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

~εa1, ~εa2

Лабораторная работа № 2. ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН

2.1.Цель работы

1.Экспериментальное исследование отражения плоских электромагнитных волн от границы раздела сред диэлектрик– воздух.

2.Углубление теоретических знаний и математическое моделирование основных свойств стоячих электромагнитных волн.

2.2.Наклонное падение плоской волны

Рассмотрим волновые явления, возникающие при падении линейно поляри- зованной плоской волны на плоскую бесконечно протяженную границу раздела двух диэлектрических сред, характеризуемых комплексными абсолютными диэлектрическими проницаемостями и вещественными магнитными проницаемостями μa1, μa2. Без ограничения общности введем декартову систему координат так, чтобы плоскость x0z совпадала с плоскостью, проходящей через векторы направления распространения волны и нормали к поверхности раздела. Эта плоскость называется плоскостью падения. Напомним, что направление распространения плоской волны совпадает с направлением вектора Пойнтинга П. Плоскость y0z совместим с плоскостью раздела сред. По отношению к плоскости падения вектор напряженности электрического поля может быть ориентирован про- извольно. Ограничимся рассмотрением двух случаев:

–вектор E перпендикулярен плоскости падения (нормально поляризованная волна);

–вектор E параллелен плоскости падения (параллельно поляризованная волна). Тогда волна с произвольной поляризацией будет представлять собой

суперпозицию нормально и параллельно поляризованных плоских волн. В теории распространения радиоволн и антенной технике нормально поляризованные волны называют также волнами горизонтальной поляризации, а параллельно поляризованные – волнами вертикальной поляризации.

2.3.Нормальная поляризация

Вэтом случае вектор Eп падающей волны параллелен оси y , а вектор Hп лежит в плоскости падения (рис. 2.1). Очевидно, что падающая волна может частично (или полностью) отразиться от поверхности раздела сред и частично (или полностью) пройти во вторую среду. При этом логично предположить, что отраженная и преломленная волны также будут плоскими и нормально поляризозованными. Это предположение можно доказать строго, что рекомендуется

проделать самостоятельно при подготовке к лабораторной работе. Тогда полное электромагнитное поле в первой среде для точки наблюдения, расположенной над поверхностью раздела, определяется суммой падающей и отраженной волн. Для выбранной системы координат (рис. 2.1) векторы напряженности электрического

Hпx	Hп	По
	Hо	По
Eп	Hпz	Eо
Eп	n
Пп

ϕθ

εa1, μa1,σ1

		0
		, μa2 ,σ 2
	εa2	, μa2 ,σ 2

ψ	H	пр
Eпр	H

x Ппр

Рис. 2.1. Волновые явления при нормальной поляризации падающей волны

и магнитного полей падающей плоской электромагнитной волны нормальной поляризации имеют следующий вид:

= i y Eпe

−ik1( x cos ϕ+ z sin ϕ)

;

= -(ix sin j - iz cos j)

Eп

× e

−ik1( x cos ϕ+ z sin ϕ)

(2.1)

Zc1

; Zc1

сопро-

где

k1 = w ea1ma1

= ma1 / ea1 – волновое число и характеристическое

тивление первой среды соответственно.

На поверхности раздела электромагнитные

поля в первой и второй

средах

должны удовлетворять граничным условиям для тангенциальных составляющих:

E1τ	x =0 = E2τ	x =0;	H1τ	x =0 = H2τ	x =0.	(2.2)

С учетом сделанных предположений относительно структуры электромаг- нитного поля для выбранной системы координат выражения для отраженной и преломленной волн имеют следующий вид:

= i y Eоe

−ik1(− x cos θ+ z sin θ)

;

= −(ix sin θ + i z cos θ)

Eо

−ik1

(− x cos θ+ z sin θ)

(2.3)

Zc1

пр

= i y Eпрe

−ik2 ( x cos ψ+ z sin ψ)

;

пр

= −(i x sin ψ − iz cos ψ)

Eпр

−ik2 ( x cos ψ+ z sin ψ)

(2.4)

Zc2

; Zc2

– волновое

где

k2 = ω εa2μa2

= μa2 / εa2

число и характеристическое

сопротивление второй среды соответственно.

Для нахождения амплитуд отраженной и преломленной волн Eо, Eпр , углов

θ, ψ используем граничные условия (2.2). Так как от значений z при x = 0 зависят

только комплексные экспоненты, то граничные условия (2.2) будут выполняться только при условии

k1 ×sin ϕ = k1 ×sin θ = k2 ×sin ψ ,	(2.5)
которое может быть представлено двумя независимыми равенствами:
ϕ = θ;	(2.6)
k1 ×sin ϕ = k2 ×sin ψ ,	(2.7)

где θ – угол отражения, ψ – угол преломления. Равенство (2.6) является формулировкой первого закона Снеллиуса. Из равенства (2.7) получаем

	sin ψ =			k1		sin ϕ,			(2.8)

				k2
которое в случае идеальных диэлектриков выражает второй закон Снеллиуса:
					sin ϕ =		n1	sin ϕ,
sin ψ =			εa1μa1						(2.9)

		εa2μa2					n2

где n1, n2 – показатели преломления (оптической плотности) первой и второй сред. Введем комплексные коэффициенты отражения ρ и преломления τ для нормальной поляризации падающей волны:

ρ =

τ =

Eпр

;

(2.10)

Eп

x =0

Eп

x =0

Из граничных условий (2.2) получим комплексные коэффициенты Френеля для нормально поляризованной плоской волны:

ρ =	Zc2 cos ϕ − Zc1 cos ψ	;	τ =	2Zc2 cos ϕ	.	(2.11)
	Zc2 cos ϕ + Zc1 cos ψ			Zc2 cos ϕ + Zc1 cos ψ

Модуль ρ определяет соотношение между амплитудами поля отраженной и падающей волн, а его аргумент характеризует сдвиг фаз между этими полями в точке отражения. Аналогично модуль τ определяет соотношение между амплитудами преломленной и падающей волн, а его аргумент – сдвиг фаз между этими полями в точке преломления. В формулах (2.11) можно исключить угол преломления ψ , выразив его с помощью соотношения (2.9):


cos y = 1 -	ea1ma1	×sin2 j .	(2.12)
cos y = 1 -		×sin2 j .	(2.12)
	ea2ma2

2.4.Параллельная поляризация

Вэтом случае вектор Hп перпендикулярен плоскости падения x0z, а вектор Eп ей параллелен (рис. 2.2).

	Hп	По
Eпz
		Hо
Eп	Eпx	n
Eп	Eпx
	Пп	Eо
	ϕ	ϕ

εa1, μa1,σ1		z
	0	z
	0
	, μa2 ,σ 2
εa2	, μa2 ,σ 2

Hпр

Eпр

x Ппр

Рис. 2.2. Волновые явления при параллельной поляризации падающей волны

Выражения для падающей волны аналогично случаю нормальной поляризации можно записать в следующем виде:

μ r1 = μ

E	п		= (ix sin j - iz cos j)Eпe				−ik1		( x cos ϕ+ z sin ϕ)	;

H		п	= i y	Eп	× e	−ik1( x cos ϕ+ z sin ϕ)		.		(2.13)
				Zc1

Соответственно отраженные и преломленные волны принимают вид:

= (i x sin j + i z cos j)Eоe

−ik1(− x cos ϕ+ z sin ϕ)

;

= i y

Eо

× e

−ik1(− x cos ϕ+ z sin ϕ)

(2.14)

Zc1

пр

= (ix sin y - i z cos y)Eпрe

−ik1

( x cos ψ+ z sin ψ)

;

пр

= i y

Eпр

× e

−ik1( x cos ψ+ z sin ψ)

(2.15)

Zc1

Введем коэффициенты Френеля ρ ||, τ ||

для

параллельно поляризованной

плоской волны. Выражения для них можно получить аналогично случаю нормальной поляризации с помощью граничных условий (2.2):

r\|\| =	Zc2 cos ψ − Zc1 cos ϕ	;	t\|\| =	2Zc2 cos ϕ	.	(2.16)
	Zc2 cos y + Zc1 cos j			Zc2 cos y + Zc1 cos j

Сравнение этих выражений с (2.11) показывает, что коэффициенты Френеля для нормальной и параллельной поляризаций существенно отличаются друг от друга.

Выясним условия, при которых падающая волна полностью проходит во вторую среду при некотором угле падения ϕв , который называется углом Брюстера.

Это означает, что коэффициенты отражения ρ ,\|\|		= 0. Из выражений (2.11), (2.16)
следует:
Zc2 cos ϕв − Zc1 cos ψв = 0;	( поляризация) ;		(2.17)
Zc2 cos ψв − Zc1 cos ϕв = 0;	(\|\|	поляризация) .	(2.18)

Рассмотрим типичный случай, когда обе граничащие среды являются немагнитными диэлектриками: r2 = 1, где μ r1, μ r 2 – относительные магнитные проницаемости первой и второй среды, соответственно. Пусть оптическая плотность

второй среды больше, чем первой:	ε r2 > ε r1, где ε r1,	ε r2 –	относительные
диэлектрические проницаемости первой и второй среды,		при	этом εa1 = εr1ε0;
εa2 = εr 2ε0; μa1 = μr1μ0; μa2 = μr 2μ0 ,	где ε0 , μ0 – абсолютные диэлектрическая и
магнитная проницаемости вакуума. В рассматриваемом случае			Zc1 > Zc2, кроме

того, в силу второго закона Снеллиуса ϕ > ψ , то есть cos ϕ < cos ψ . В рамках наших предположений первое уравнение не имеет решения, следовательно, явление полного преломления при падении плоской электромагнитной волны на

немагнитный диэлектрик может наблюдаться только при параллельной поляризации
падающей волны. Решая уравнение (2.18) с учетом (2.12), получим:
		tgϕ =	εr 2 .			(2.19)
		в	εr1
			εr1
Явление Брюстера используется в технике СВЧ. Например, диэлектрическая
пластина, установленная под углом Брюстера по отношению к направлению
распространения падающей волны, при правильном выборе поляризации не создает
отражений. Эта пластина может играть роль конструктивных элементов, например,
фиксирующих опор, герметичных уплотнений и поглощающих покрытий.
На рис. 2.3 представлены зависимости			ρ (ϕ), τ (ϕ), ρ (ϕ), τ (ϕ) в предполо-
жении идеальности диэлектриков первой и второй сред: кривые					1 –	εr 2 / εr1 = 2,1;
2 – εr2 / εr1 = 4,5; 3 – εr2 / εr1 = 8,3.
ρ , ρ			τ , τ
1	1,0		1	1,0
0,80,8				1
				1
0,60,6			0,80,8		τ
					τ
0,40,4		ρ		2
				2

	0,2			0,6
0,2			0,6
0				3
0	0,0
-0,2		1	0,40,4
-0,2
	-0,2
-0,4		2		τ
-0,4				τ
	-0,4	3
		3
-0,6			0,20,2
	-0,6	ρ	0,20,2
-0,8		ρ
	-0,8
-1 -1,0				0,0
	00	10 20 30 40 50 60 70 80 90 ϕ , град		0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ϕ , град
		Рис. 2.3. Зависимости коэффициентов отражения и преломления

На рис. 2.4 представлены зависимости модулей ρ (ϕ), ρ ||(ϕ) для одной и той

же поверхности раздела двух идеальных диэлектриков и диэлектриков с поте- рями: εr1 = 1; σ1 = 0; εr 2 = 3,1; σ2 = 0,01; f = 1 ГГц. Для сред с потерями угла Брюстера

не существует, но имеется минимум модуля коэффициента отражения ρ || , который

тем глубже, чем меньше потери в среде. Из рис. 2.4 видно, что нормально поляризованные плоские волны отражаются лучше, чем волны параллельной поляризации, причем всегда ρ > ρ По этой причине поляризация отраженной

волны в общем случае отличается от поляризации падающей волны. Например, при

наклонной линейной поляризации отраженная волна будет иметь другой угол
наклона вектора Eп к плоскости падения, при эллиптической поляризации
вследствие изменения амплитудно-фазовых соотношений между ортогональными
компонентами вектора Eп изменится			коэффициент эллиптичности и ориентация
поляризационного эллипса относительно плоскости падения.
ρ , ρ
,0
1
0,8
				ρ
0,6
		Реальная среда
0,40,4
					ρ
0,2
	Идеальная среда
0,0
0	15	30	45	60	75	90
0	15	30	45	60	75	90 ϕ , град
Рис. 2.4. Модули коэффициентов отражения для идеальной и реальной сред

Если волна произвольной поляризации падает под углом Брюстера, то отраженная волна будет иметь только нормальную поляризацию. Если волна падает на границу неидеальных диэлектриков, то при наклонной линейной поляризации отраженная волна будет иметь эллиптическую поляризацию, так как между ортогональными компонентами E и E || появится фазовый сдвиг, обусловленный

различием аргументов комплексных коэффициентов ρ , ρ || . Это явление используют на практике для определения электрических параметров εr , μr , σ земной поверхности, где σ – удельная проводимость земной поверхности.

Текст программы MATLAB позволяет определить коэффициенты отражения ρ , ρ || для сред без потерь ( σ1 = σ2 = 0 ) и для сред с потерями на заданной частоте

f , ГГц. Для работы программы в командной строке необходимо набрать reflect(sig1,sig2,er1,er2,f), где sig1, sig2 – удельные проводимости первой и второй среды; er1, er2 – относительные диэлектрические проницаемости первой и второй среды, соответственно.

function reflect(sig1,sig2,er1,er2,f)

% sig1, sig2 - удельные проводимости 1 и 2 среды

% er1,er2

- относительные диэлектрические проницаемости сред

% f - частота ЭМ поля (ГГц)

rad=pi/180; f=f*1e9; eps0=1/(36*pi)*1e-9; miu0=4*pi*1e-7; miur1=1; miur2=1;

epsa1=eps0*er1; miua1=miu0*miur1; epsa2=eps0*er2; miua2=miu0*miur2; ec1=epsa1*(1-i*sig1/(2*pi*f*epsa1)); ec2=epsa2*(1-i*sig2/(2*pi*f*epsa2)); Zc1=sqrt(miua1/ec1); Zc2=sqrt(miua2/ec2); fi=(0:90)*rad; cosfi=cos(fi); s=sin(fi).^2; cospsi=sqrt(1-ec1*miua1/(ec2*miua2)*s);

rpar=(Zc2*cospsi-Zc1*cosfi)./(Zc2*cospsi+Zc1*cosfi); rort=(Zc2*cosfi-Zc1*cospsi)./(Zc2*cosfi+Zc1*cospsi); plot(fi/rad,abs(rpar),'r',fi/rad,abs(rort),'b'); grid on

Обращаясь к формулировке второго закона Снеллиуса, заметим, что при выполнении определенных условий может отсутствовать преломленная волна – явление полного внутреннего отражения. Полагая в (2.12) ψ = π2 (преломленная волна распространяется параллельно поверхности раздела сред) и соответствующий этому случаю критический угол падения ϕ = ϕкр , получим:

sin ϕкр = n2 n1.

(2.20)

Это означает, что явление полного внутреннего отражения возникает при выполнении следующих двух условий: а) вторая среда должна быть оптически менее плотной по сравнению с первой (n2 < n1); б) угол падения должен быть не меньше критического (j ³ jкр ).

2.5. Нормальное падение плоской волны

Рассмотрим случай падения плоской волны по нормали к поверхности раздела двух сред. Этот случай часто встречается в практических задачах радиолокации, в линиях передачи. Ограничимся рассмотрением сред без потерь. В этом случае при ϕ = 0 из формул Френеля (2.14), (2.22) независимо от вида поляризации падающей волны следует:

ρ =	Zc2	− Zc1	.	(2.21)
	Zc2
		+ Zc1

Отсюда видно, что ρ > 0 при Zc2 > Zc1 – при этом условии фаза отраженной волны совпадает с фазой падающей волны. Если Zc2 < Zc1, то ρ < 0 – фаза отраженной волны изменится на π . Кроме того, коэффициент отражения тем больше, чем больше различаются характеристические сопротивления Zc1, Zc2.

Определим электромагнитное поле E1, H1 в первой среде при нормальном падении плоской волны линейной поляризации. В выбранной системе координат (рис. 2.5) поля падающей и отраженной волн можно записать в следующем виде:

= i

E e

−ik x

;

= −i

Eп

−ik x

;

Zc1

Eо = i

E eik1x

;

Hо = i

Eо

eik1x.

y Zc1

Eп

Eо

Hо

, μa2

εa1, μa1

εa2

Пп

По

Hп

(2.22)

(2.23)

Рис. 2.5. Нормальное падение плоской волны

Электромагнитное поле в первой среде определяется суммой двух волн, распространяющихся навстречу друг другу, следовательно, с учетом (2.21),

	E1 = Eп + Eо = i z Eп (e−ik1x + reik1x );
	(2.24)
	H1 = Hп + Hо = -i y	Eп	(e−ik1x - reik1x ).

		Zc1
Рассмотрим часто встречающийся на практике случай, когда вторая среда
является идеальным	проводником электрического тока, для которого Zc2 = 0 ,
следовательно ρ = −1.	Это означает, что в любой момент времени на отражающей

поверхности Eо = -Eп, что является прямым следствием граничных условий для тангенциальной составляющей вектора E1.

Используя формулы Эйлера, из соотношений (2.24) получим

E = -ii

sin k x , H

= -i

Eп

cos k x.

(2.25)

Zc1

Умножив (2.25) на ei(ωt +ϕ0 )

и взяв действительную часть от полученных выраже-

ний, найдем мгновенные значения векторов поля

E1 = i z 2Eп sin k1x ×sin(wt + j0 );

H = -i

Eп

cos k x ×cos(wt + j

(2.26)

Zc1

где ϕ0 – начальная фаза

падающей волны

в точке

падения. Из

полученных

выражений видно, что пространственная зависимость фазы, свойственная бегущим волнам и характеризуемая фазовым множителем e±ik1x , в данном случае

отсутствует. Это означает, что во всех точках пространства поле изменяется синфазно. Однако, с течением времени поле изменяется по гармоническому закону, фаза поля ϕ = ωt + ϕ0 зависит только от времени (рис. 2.6, а).

t1		3λ	E1
	t5	1
	t5	4
		4
t2	t6	λ1
t3	t7	2
t4		λ1	H1

E1	4
z	z
0	0
x	x
а)	б)

Рис. 2.6. Амплитудные зависимости для векторов напряженности поля

Из выражений (2.31) следует, что амплитуды полей зависят от координаты x:

Е =

2E sin k x

;

Eп

E cos k x

(2.27)

Zc1

В точках с координатами x = (2n + 1) λ1 4 , где n = 0, 1, 2,..., амплитуда

вектора

E1 максимальна, а вектора H1 равна нулю. При x = m λ1 2,

m = 0, 1, 2, ... , амплитуда

вектора H1 максимальна, а вектора E1 равна нулю. Это значит, что векторы E1 и H1

сдвинуты в пространстве на λ1 4 , а по фазе на π 2 (рис. 2.6, б).

Из формул (2.27) также следует, что между векторами E1 и H1 существует

временной сдвиг на T 4,

где T

– период

колебаний,

то есть в определенные

моменты времени электрическое поле равно нулю, а магнитное поле максимально, и наоборот. Для данной волны комплексный вектор Пойнтинга

П =	1	E × H* = −i	x	i	Eп		2	sin 2k x	(2.28)


					Z
1	2 1 1					1
					c1

будет чисто мнимым, а его среднее значение равно нулю. С физической точки зрения это означает, что такая волна в среднем не передает энергии.

Рассмотренная волна называется стоячей. Точки пространства, в которых напряженность поля равна нулю, называются узлами, а в которых она максимальна

– пучностями. В стоячей волне эти точки неподвижны.

Текст программы MATLAB для моделирования характеристик стоячей волны в произвольные моменты времени и для произвольных координатных точек:

function standing_wave

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лабы задания

#
16.03.20162.74 Mб68Бухарин В.А., Хашимов А.Б. Электродинамика и распространение радиоволн. 2010.pdf
#
16.03.201641.92 Кб21Введение.pdf
#
16.03.2016509.8 Кб25Лабораторная работа 1.pdf
#
16.03.2016363.76 Кб29Лабораторная работа 2.pdf
#
16.03.2016534.53 Кб65Лабораторная работа 3.pdf
#
16.03.2016564.22 Кб24Лабораторная работа 4.pdf
#
16.03.201671.75 Кб19Титульный лист.pdf