1. Решение уравнений вида Функции обычно задаются двумя способами:
Аналитический. Этот способ заключается в задании исходной функции с помощью формулы. Преимуществом этого метода является возможность достижения сколь угодно точного решения, а также возможность исследования функции на любом промежутке переменных.
Табличный. Заключается в задании функции в виде таблицы, в которой заданы значения F(x) при различных значениях аргумента. Обычно исходные данные для таблиц получают в результате экспериментов. Данный метод обладает ограниченной точностью, так как мы можем только предположить, какие значения принимает функция в точках, не указанных в таблице. Область, в которой мы можем исследовать функцию, также ограничена тем отрезком, на котором проводился эксперимент, и, если нам необходимо исследовать функцию вне этого отрезка, то мы должны проводить дополнительные эксперименты.
Методы решения уравнения вида
(1)
подразделяются на графические и итерационные. Графический способ используется в том случае, когда отсутствует информация о расположении корней. Он заключается в нахождении корней по графику функции с точностью до выбранного шага. Обычно данный метод используется для отделения корней, то есть определения начальных приближений к ним.
Итерационные методы подразделяются на несколько видов. Остановимся подробнее на нескольких из них.
Метод дихотомии
Метод дихотомии или метод половинного деления заключается в следующем: считаем, что отделение корней уравнения (1) проведено и на отрезке [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью (рис.1.1).
Рис. 1.1
Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Условием того, что корень принадлежит отрезку [a,b] является выполнение неравенства
, (1.1)
то есть на концах отрезка [a,b] функция должна иметь разные знаки.
Определяем середину отрезка [a,b]:
(1.2)
и вычисляем функцию f(c). Далее согласно условию (1.1) выясняем, в какой половине отрезка [a,b] ( [a,c] или [c,b] ) находится корень, и получаем новый отрезок для дальнейшего исследования. Полученное условие будет иметь следующий вид:
Итерационный (повторяющийся) процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [a,b] не станет меньше заданной погрешности .
(1.3)
При выполнении этого условия в качестве корня принимают число с, полученное в результате последней итерации. Данный способ будет иметь сходимость всегда, когда корень принадлежит отрезку [a,b]. Однако часто в целях защиты от зацикливания задают максимальное число итераций N. В этом случае, если условие (1.3) не выполнилось, в качестве ответа принимается решение, полученное в результате N-ой итерации.
Одной из модификаций метода половинного деления является метод золотого сечения. Этот метод полностью идентичен методу половинного деления за исключением того, что при итерации отрезок, на котором расположен корень, делится не на две равные части, а исходя из соотношения
.
Такое деление отрезка позволяет в большинстве случаев получить решение за меньшее число итераций.
Метод простых итераций