Определение переходных процессов при описании дискретных систем уравнениями состояния.

Одной из основных и часто встречающихся задач анализа и импульсных систем является определение переходных процессов. Запишем уравнение (63) импульсной системы в переменных состояния:

Переходный процесс в такой системе может быть легко найден рекуррентным способом, для систем низкого порядка - непосредственным вычислением, для систем высокого порядка - с применением ЭВМ. Исходными данными для вычислений являются входные воздействия , и начальное состояние системы

Тогда

и т.д.

Недостатком рекуррентной процедуры является то, что для нахождения решения при определенном значении аргумента необходимо вычислить решение при всех предшествующих значениях аргумента. Поэтому имеет смысл получить решение системы разностных уравнений (63) в явном виде.

Из теории разностных уравнений, которые рассматривались в курсе "Математические основы ТАУ" фундаментальной матрицей однородной системы

(73)

называется - матрица, столбцы которой представляют собой линейно независимые решения системы (73). Фундаментальная матрица x[k] является нормированной при k=0 , если x[0]=E. Общее решение однородной системы (73) имеет вид

(74)

где x[k]- произвольная фундаментальная матрица.

Если x[k]- нормированная фундаментальная матрица, выражение (74) примет вид

(75)

Для определения нормировавшей фундаментальной матрицы применим Z-преобразование к обеим частям уравнения (73):

где

Отсюда следует, что

(76)

Так как решение линейного разностного уравнения при заданных начальных условиях определяется единственным образом, то из сравнения выражений (76) и (75) будем иметь

Связь между Z-преобразованием решетчатой функции и оригиналом задается соотношением

где - особые точки .

Применив эту формулу для нашего случая, получим

,

где - собственные числа матрицы Ф, т.е. корни характеристического уравнения

Возможны и некоторые другие способы вычисления матрицы [2].

Перейдем к определению решения неоднородной системы разностных уравнений (63). Получим последовательно

Общее решение неоднородной системы будет иметь вид

или

Учитывая, что

получим окончательное выражение в виде

(77)

Таким образам, для численного расчета переходных процессов в дискретной системе можно использовать либо рекуррентную процедуру, либо выражения (75), (77). Для изучения общих свойств решения, анализа поведения системы при различных начальных условиях используются формулы (75), (77), характеризующие зависимость переменных состояния от дискретного времени в явном виде.

Лекция № 16

Тема:

Описание импульсных систем с несколькими импульсными элементами с помощью пространства состояний.

План лекции:

1. Математическое описание синхронных импульсных систем с кратными периодами квантования ИЭ.

2. Пример составления математического описания импульсной системы.

1. Математическое описание синхронных импульсных систем с кратными периодами квантования иэ.

Импульсная система может иметь в своем составе несколько импульсных элементов (ИЭ). Наиболее простым является ранее рассмотренный случай, когда у всех ИЭ одинаковые периоды квантования и все они срабатывают одновременно. Такие системы называются синхронными и синфазными. В противном случае говорят об асинхронных (различные периоды квантования) и асинфазных (неодинаковое время срабатывания ИЭ) системах. Математическое описание и анализ таких систем представляют собой сложную задачу, для решения которой можно успешно использовать метод пространства состояний.

Ограничимся рассмотрением асинхронных систем с кратными периодами дискретности импульсных элементов. Такие системы имеют в своем составе непрерывную часть, описываемую линейными дифференциальными уравнениями, и дискретную часть, состоящую из идеальных импульсных элементов (ИИЭ) и формирующих звеньев. Изложим общий подход к математическому описанию данных САУ. Рассмотрим интервал квантования ИЭ и выделим их наименьшее общее кратное Т. Эта величина определяет цикл работы всей системы. Разделим цикл наподынтервалов в соответствии с моментами срабатывания отдельных ИЭ (рис.38).

Рис.38

На каждом полуинтервале в системе можно выделить два типа преобразования вектора состояния:

изменение вектора состояния в интервале между моментами квантования. Эти переходы характеризуются уравнениями вида

,

где x - вектор состояния; u - вектор управления.

Данному уравнению соответствует решение

(78)

где

2) изменение вектора состояния в моменты квантования. Эти изменения описываются уравнениями вида

(79)

(индексы "-" и "+" соответствуют левым и правым пределам при стремлении аргумента t ).

Осуществляя последовательно переходы (78) и (79), можно установить связь между интересующими нас моментами времени. Например, рассмотрим полуинтервал . При t=kT имеем переход

(80)

На интервале имеем переход

(81)

Подставив выражение (80) в формулу (81), получим уравнения, связывающие значения вектора состояния в моменты и

или

где

Аналогично рассматриваются и стыкуются между собой последующие интервалы.