Лекция № 9

Тема:

Устойчивость импульсных систем.

План лекции:

1. Понятие устойчивости.

2. Условия устойчивости импульсных систем

1. Понятие устойчивости.

Анализ устойчивости является необходимым этапом исследования любой системы автоматического управления, так как именно это свойство в решающей степени определяет принципиальную возможность практического использования САУ. Основные понятия теории устойчивости непрерывных систем рассматривались в курсах "Математические основы ТАУ" и "Основы ТАУ".

Будем считать, что линейная импульсная система устойчива тогда и только тогда, когда ее реакция на любое ограниченное воздействие ограничена. Соответственно, если найдется хотя бы одно ограниченное внешнее воздействие, реакция системы на которое не будет ограничено, то такая импульсная система называется неустойчивой.

2. Условия устойчивости импульсных систем.

Изложим условия устойчивости и линейной импульсной системы, следуя [6] . Рассмотрим полученное ранее уравнение системы во временной области (10)

и приведем его к виду

. (45)

Пусть внешнее воздействие ограничено, т.е.

.

Произведем оценку выходного сигнала

.

Поднимая в последнем неравенстве верхний предел суммирования до бесконечности (это может только усилить неравенство), получим

. (46)

Очевидно, что импульсная система устойчива, если ряд в правой части (46) сходится, т.е. если

. (47)

Таким образом, импульсная система устойчива, если ряд дискрет весовой функции ПНЧ абсолютно сходится. В приведенной формулировке условие (47) является достаточным.

Покажем его необходимость. Положим, что условие (47) не выполняется, т.е.

. (48)

Тогда можно найти ограниченное входное воздействие, при котором реакция системы будет неограниченной. Пусть при фиксированном k

(набор дискрет входного сигнала меняется для каждого). Тогда

.

Согласно условию (48) для любого наперед заданного числа N всегда можно подобрать такое k , когда

,

что доказывает необходимость условия (48).

Таким образом, условие (48) является необходимым и достаточным условием устойчивости линейной импульсной системы.

Рассмотрим, как оценивается устойчивость линейной импульсной системы по ее передаточной функции. По определению

откуда

.

Если , тои тогда

при.

Отсюда следует, что у устойчивой импульсной системы передаточная функция должна быть ограничена в области , т.е. функция W(z) не должна иметь особых точек-полюсов в области.

Таким образом, импульсная система устойчива, когда все полюсы W(z) удовлетворяют соотношению

,

где n - число полюсов. Случай, когда существуют полюсы такие, что, является критическим. Можно показать, что устойчивость обеспечивается, еслии- полюс первого порядка передаточной функции W(z) .

Как правило, передаточная функция импульсной системы является дробно-рациональной функцией, т.е.

где , A(z) , B(z) -многочлены.

Тогда уравнение

B(z)=0 (49)

будет характеристическим уравнением импульсной системы и для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы:

1) все корни уравнения (49) удовлетворяли условию

2) корни, модули которых равны единице, были простыми.

Таким образом, на комплексной плоскости z устойчивой импульсной системе соответствуют корни B(z), находящиеся внутри единичной окружности или принадлежащие этой окружности. Асимптотической устойчивости системы, характеризующейся тем, что в отсутствие входного сигнала собственные движения стремятся к нулю при , соответствуют полюса передаточной функции, находящиеся внутри единичной окружности

Анализ устойчивости импульсной системы заключается в оценке расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.