«Решение транспортной задачи (тз) )»

Транспортная задача – задача о поиске оптимального распределения поставок однородного товара от поставщиков к потребителям при известных затратах C_ij на перевозку (тарифах) товара между пунктами отправления и назначения. Она является задачей линейного программирования специального вида. Транспортная задача (исходные данные) может быть записана в виде прямоугольной таблицы. Пример подобной таблицы приведен ниже. Требуется определить оптимальный план поставок по критерию минимальных затрат на перевозки.

Запасы ai	Поставщики Постi	Потребители
		Потр1	Потр2	Потр3	Потр4	Потр5
a1=13	Пост1	7	6	8	9	4
a2=17	Пост2	10	9	5	11	3
a3=10	Пост3	14	9	4	10	9
a4=13	Пост4	3	11	8	8	8
ai = 53	Потребности bi (bi = 53)	b1=10	b2=8	b3=12	b4=14	b5=9

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом a, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом b.

Тогда

Транспортная задача называется закрытой, если a = b. Если же a  b , то транспортная задача называется открытой.

Очевидно, что в случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены.

В случае открытой задачи при a < b весь груз будет вывезен, однако будут недопоставки груза экономически невыгодным потребителям. При a > b, наоборот, будут удовлетворены все потребители, но часть груза останется на складах экономически невыгодных поставщиков.

Пусть - (0) это количество груза от поставщикаА_iк потребителюВ_j. МатрицаX с неотрицательными элементамиx_ij называетсяпланом перевозок.

Функция z=называетсяцелевой функцией. План перевозок, реализующий минимум целевой функции z, называетсяоптимальным.

Если задача является открытой, то необходимопровестипроцедуру закрытия задачи. С этой целью приa <b добавляемфиктивного поставщика A'_m+1с запасом грузаa'_{m +1}=b-a. Если жеa >b , то добавляемфиктивного потребителя B'_n+1 с заказом грузаb'_{n +1}=a-b. В обоих случаях соответствующие фиктивным объектам тарифы перевозокc'_ij полагаемравныминулю. В результате суммарная стоимость перевозокz не изменяется.

6.6. Пример решения транспортной задачи в Excel

На рис. 6.12 показан вид листа Excelпосле решения транспортной задачи.

Рис.6.12 – Исходный лист после решения транспортной задачи

· В ячейках диапазонаB5:F8введены коэффициенты матрицы стоимостей {C_ij}, в ячейкахI4:M4– объемы потребленияb_j, в ячейкахH5:H8– объемы производстваa_i.

·Формула вычисления целевой функции задана в ячейкеF3:=СУММПРОИЗВ(B5:F8;I5:M8).

·Ячейки диапазоновN5:N8, I9:M9– это ячейки с формулами, задающими ограничения транспортной задачи (суммы по строкам и столбцам соответственно).

·Выделенная областьI5:M8– это ячейки, отведенные под искомые решения транспортной задачи x_ij. В исходном листе эта область была не заполненной, данные с решением транспортной задачи появились после запуска пакета «Поиск решения» (см. рис. 6.12).

На рис.6.13 показан вид окна установки данных для расчета с заданными ограничениями и целевой функцией транспортной задачи.

Рис.6.13 – Результат решения транспортной задачи

На рис.6.12 легко убедиться, что в результате решения задачи все ограничения выполнены: столбцы и строки с формулами, задающими ограничения, совпадают с исходными объемами производства и потребления.

Примеры использования пакета Mathcad для решения транспортной задачи

Задача Х1.Имеются n=4 пунктов производства иm=4 пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с і-го пункта производства в j-й центр распределения c_ijприведена в таблице,где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом - пункт распределения. Кроме того, в этой таблице в конце i-й строкие указан объем производства в і-м пункте производства, а внизу j-го столбца указан спрос в j-м центре распределения.

Необходимо составить план перевозок по доставке требуемой продукции в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Пункт произв.	Стоимость перевозки ед. продукции				Объем пр-ва
	П1	П2	П3	П4
Пр1	1	3	4	5	20
Пр2	5	2	10	3	30
Пр3	3	2	1	4	50
Пр4	6	4	2	6	20
Потребность	30	20	60	10

Решение задачи средствами MathCAD:

1) Введите исходные данные в матричной форме.

2) Введите линейную целевую функцию.

3) Задайте начальные значения переменных:

4) Введите ограничения задачи в матричной форме.

5) Определите оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Minimize:

Задача Х2.Постановка задачи. Пусть имеется m источников финансирования А1, А2, ..., Аm и n периодов финансирования B1, B2, ..., Вn. Известны затраты, связанные с выделением единицы денежных ресурсов Сij из i-ro источника в j-ом периоде, а также объемы финансирования из каждого i-гo источника в течение всего времени –а_i. Известны суммарные объемы финансирования из всех источников в каждый j-й период времени - b_j. Требуется определить объемы финансирования Х_ij из i-ro источника в j-ом периоде, чтобы:

1. Ресурсы всех источников были реализованы.

2. Обеспечить финансирование в полном объеме в каждом периоде.

3. Достигнуть экстремума выбранного критерия оптимизации.

Исходные данные задачи при m=n=3 представлены в следующей таблице.

Объемы ai	Источники Аi	Периоды финансирования Вi
		В1	В2	В3
a1=14	А1	70	38	24
a2=20	А2	58	18	56
a3=26	А3	19	10	100
ai = 60	Потребности bi (bi =60)	b1=30	b2=22	b3=8

Введите в рабочем листе поясняющий текст. Для этого вначале разместите в месте ввода текста курсор (визир - красный крестик). Затем выберите (щелчком мыши или с помощью клавиатуры) пункт Insert (Вставка) главного меню Mathcad. В появившемся падающем меню щелкните по пункту Text Region (Текстовая область) или в месте расположения курсора нажмите клавишу с двойной кавычкой (команда для ввода текста). В обоих случаях появится шаблон, указывающий место и начало ввода, после чего можно приступить к этой операции. Текстовая область будет автоматически увеличиваться по мере ввода текста. По окончании его необходимо вывести курсор (маркер ввода) за рамки области.

Далее введите критерий оптимизации - целевую функцию. Для этого вначале разместите курсор (визир - красный крестик) в месте ввода математического выражения. Затем с помощью соответствующих клавиш начните ввод; в первую очередь - имени критерия оптимизации, с аргументами в скобках через запятые:

Y (X11, Х12, Х13, Х21, Х22, Х23, Х31, Х32, ХЗЗ).

Затем нажмите комбинацию клавиш Shift+: для ввода знака присваивания :=. На месте правой метки поместите всё выражение критерия оптимизации. Начальные приближения вводятся аналогично.

Для решения задачи используем блок функций Given ... Minimize, выполнив следующие операции:

• введите, если необходимо, комментарии, воспользовавшись клавишей с двойной кавычкой;

• введите ключевое слово Given;

• введите систему ограничений, используя при вводе знак равенства, вызванный нажатием комбинации клавиш Ctrl+=;

• введите граничные значения (рис. 1);

• введите вектор-столбец искомых параметров, используя диалоговое окно Insert Matrix (Вставить матрицу). Для этого щелкните по левой верхней кнопке на панели инструментов Matrix (Матрица) или нажмите комбинацию клавиш Ctrl+M. В появившемся диалоговом окне Insert Matrix в поле Rows (Строки) число строк ( элементов вектора-столбца) должно быть равно 9, а в поле Columns (Столбцы) – 1;

• введите знак присваивания, нажав комбинацию клавиш Shift+:(двоеточие);

• используя диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию), введите функцию Minimize с искомыми параметрами, нажав для этого комбинацию клавиш Ctrl+E;

• скопируйте и вставьте вектор-столбец искомых параметров и введите знак «равно».

На рис.1 показано подготовка процесса оптимизации распределения однородных ресурсов с помощью Mathcad.

Это математическое описание конкретной транспортной задачи в нотации системы, где. представлены критерий оптимизации, начальные приближения и граничные условия. В описании двух первых пунктов использован знак присваивания := (двоеточие и равно). Он вводится щелчком мыши по второй кнопке в первой строке панели Evaluation (Вычисление), если она была заранее выведена на рабочий лист.

Следует обратить внимание на представление системы ограничений в Mathcad. При ее написании используетсяжирный знак равенства, вызываемый щелчком по кнопке с аналогичным знаком - второй в первом столбце панели инструментовEvaluation(Вычисление).

На рис.2 показано продолжение процесса оптимизации распределения однородных ресурсов с помощью Mathcad. Жирный знак «равно» - его еще называют булевым равенством - можно вывести нажатием комбинации клавишCtrl+= (равно).

Оптимальное распределение однородных ресурсов зафиксировано в векторе (X11 Х12 Х13 ...). Из полученного решения видно, чтоX11 = 4, Х12 = 2, Х13 = 8, Х21= 0, Х22 = 20, Х23 = 0, Х31 = 26, Х32 =0, ХЗЗ = 0. Это означает, что источник 1 должен профинансировать в первом периоде 4 единицы, во втором и в третьем - 8 единиц. Источник 2: в первом периоде 0 единиц, во втором 20 и в третьем - 0 единиц. Источник 3: в первом периоде 26 единиц, во втором и в третьем финансирование отсутствует. Первая цифра в переменнойXопределяет источник, а вторая - период финансирования. Такое распределение денежных средств из источников обеспечит минимальные суммарные затратыY, которые составят 1,402 х 10³единиц.

Рис.1. Подготовка процесса оптимизации

Рис.2. Начало и продолжение процесса оптимизации