Lektsii_3_semestra_po_algebre

первого типа со строками и столбцами, прид¸м к матрице вида

01

Если элемент a11 делит все элементы матрицы D , то мы пришли к матрице вида I. В противном случае найд¸тся элемент dij такой, что a11 j dij, 1 < i, 1 < j. Прибавляя i-ю строку к 1-й строке, мы приходим к случаю 1.

После конечного числа шагов приходим к матрице вида I. Завершение редукции: элементарные преобразования строк и столб-

цов матрицы C реализуются элементарными преобразованиями строк и столбцов матрицы C, все новые элементы в последующих преобразованиях матрицы C делятся на d1. Таким образом приходим к матрице

D= diag (d1; d2; : : : ; du) 2 Mm;n(Z), где d1 j d2 j : : : j du.

2)Пусть 1 i min(m; n) = u.

Рассмотрим идеал Ji(A) кольца целых чисел Z, порожденный всеми (i i)-минорами (т. е. определителями (i i)-подматриц) матрицы A. Тогда:

1)если B A, то Ji(A) = Ji(B) для всех 1 i u;

2)Ji(A) = Ji(D) = Z(d1d2 : : : di) (используя диагональную форму

матрицы).

Если u = min(m; n), D0 = diag (d01; d02; : : : ; d0u) 2 Mm;n(Z), D0 A, d01 j d02 j : : : j d0u, d0i 2 N [ f0g, то D0 A Di, и поэтому D0 Di,

следовательно,

Z(d01d02 : : : d0i) = Ji(D0) = Ji(D) = Z(d1d2 : : : di):

Таким образом,

d01d02 : : : d0i = d1d2 : : : di

для всех 1 i u.

Итак, последовательно:

d01 = d1;

d01d02 = d1d2;

12

при этом если d01 = d1 6= 0, то из этого следует, что d02 = d2, если же d01 = d1 = 0, то все кратные d02 = : : : = d0u = d2 = : : : = du = 0;

...

В итоге получаем, что всегда d01 = d1, d02 = d2,. . . , d0u = du.

ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ НА МНОЖЕСТВЕ (ПОЛИГОНЫ)

Различные группы преобразований дают естественные и многочисленные примеры действия групп на множествах. Это обосновывает рассмотрение левого полигона M над группой G (или левого G-полигона, обозначение MG): множества M и отображения G M ! M, при котором (g; m) ! gm, m 2 M, g 2 G, при этом

1)(gh)m = g(hm) для всех m 2 M, g; h 2 G;

2)em = m для m 2 M и нейтрального элемента e 2 G.

Если S(M) группа подстановок на множестве M, т. е. группа всех биекций : M ! M с операцией композиции, то задание структуры полигона MG равносильно заданию гомоморфизма групп

': G ! S(M):

Определение 1. Орбитой элемента m полигона MG над группой G назовем следующее подмножество в M:

Orb (m) = fgm j g 2 Gg (= Gm):

13

Замечание 3. y 2 Orb (m) () Orb (y) = Orb (m).

Действительно, если y = gm, то hy = hgm для h 2 G, т. е. Gy Gm. Так как m = g 1y, то Gm Gy. Итак, Gy = Gm. Если Gy = Gm, то y = ey 2 Gy = Gm.

Замечание 4. Отношение y x () y = gx; g 2 G (т. е. y x () Orb (y) = Orb (x)) является отношением эквивалентности.

Действительно,

1)x = ex, т. е. x x;

2)если z y, y x, т. е. z = hy, y = gx, h; g 2 G, то z = hgx, т. е.

zx;

3)если y x, т. е. y = gx, g 2 G, то x = g 1y, т. е. x y.

Теорема 4 (разбиение на непересекающиеся орбиты). Если MG

полигон над группой G, то MG является объединением непересекающих-

:

S

ся орбит: MG = Orb (mi), где mi представители орбит (т. е. вы-

i

бранные по одному элементу в каждой орбите).

Следствие 1. Если jMGj < 1, то

jMGj = j Orb (m1)j + : : : + j Orb (mk)j;

где m1; : : : ; mk представители орбит.

Доказательство. вытекает из рассмотрения отношения эквивалентности: y x () Orb (y) = Orb (x).

Замечание 5. Если MG = Orb (m), m 2 G (т. е. имеется единственная орбита), то будем говорить, что группа G действует транзитивно.

14

Определение 2. Если p 2 MG, то стабилизатором элемента p назовем следующее подмножество группы G:

St (p) = fg 2 G j gp = pg:

Теорема 5. Пусть p 2 MG. Тогда():

1)стабилизатор St (p) элемента p 2 G является подгруппой груп-

пы G;

2)соответствие между смежными классами St (p)a, a 2 G, и элементами pa 2 Gp = Orb (p) является биекцией;

3) если jGj = n < 1, то jGj = j Orb (p)j j St (p)j (и следовательно, j Orb (p)j и j St (p)j делители числа n = jGj, при этом j Orb (p) =

Доказательство.

1) Если g; h 2 St (p) т. е. gp = p и hp = p, то hgp = hp = p, и поэтому hg 2 St (p). Если g 2 St (p), т. е. gp = p, то g 1p = g 1gp = ep = p, и поэтому g 1 2 St (p). Ясно, что ep = p, т. е. e 2 St (p), т. е. St (p) 6= ?. Таким образом, St (p) подгруппа группа G.

2) Если a; b 2 G, то

ap = bp () b 1ap = p () b 1a 2 St (p) () a St (p) = b St (p):

Таким образом, установлена биекция между различными элементами орбиты Gp = Orb (p) и множеством различных смежных классов a St (p) по подгруппе St (p): ap $ a St (p).

В силу 2) число различных смежных классов по подгруппе St (p) совпадает с j Orb (p)j. Применяя теорему Лагранжа, получаем: jGj =

j Orb (p)j j St (p)j. В частности, j Orb (p)j = jGj .

j St (p)j

15

Лемма 4. Если p0 = ap 2 Orb (p), p 2 MG, то:

1)a St (p) = fg 2 G j gp = p0g;

2)St (p0) = a St (p)a 1 (т. е. St (p0) подгруппа, сопряженная с подгруппой St (p)).

Доказательство.

1) Фактически, это уже было проверено в предыдущей теореме:

gp = p0 () gp = ap () a 1gp = p () a 1g 2 St (p) () g 2 a St (p):

2) Действительно,

g 2 St (p0) () gap = ap () a 1gap = p () a 1ga 2 St (p) () g 2 a St (p)a 1:

ПРИМЕРЫ ПОЛИГОНОВ

Пример 2. MG = f1; 2; : : : ; ngSn, где i значение подстановки 2 Sn на элементе i из f1; 2; : : : ; ng. Так как i(i; j) = j для цикла (i; j), то это действие группы Sn на f1; 2; : : : ; ng транзитивно. Ясно, что, например, St (n) = Sn 1. Более общим образом, для любого множества M и группы всех биекций S(M) имеем полигон MS(M).

Пример 3. Пусть 2 Sn, ( ) циклическая подгруппа в Sn, порожденная подстановкой . Тогда: f1; 2; : : : ; ng( ) полигон над группой ( ), его различные орбиты это в точности непересекающиеся циклы подстановки ( ), перестановочные между собой.

16

ЛЕКЦИЯ 8

ПРИМЕРЫ ДЕЙСТВИЙ

НОРМАЛИЗАТОРЫ ПОДГРУПП

КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

ЦЕНТР p-ГРУППЫ

ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

ПРОСТЫЕ ГРУППЫ

1

ПРИМЕРЫ ПОЛИГОНОВ

Пример 1. MG = f1; 2; : : : ; ngSn, где i — значение подстановки 2 Sn на элементе i из f1; 2; : : : ; ng. Так как i(i; j) = j для цикла (i; j), то это действие группы Sn на f1; 2; : : : ; ng транзитивно. Ясно, что, например, St (n) = Sn 1. Более общим образом, для любого множества M и группы всех биекций S(M) имеем полигон MS(M).

Пример 2. Пусть 2 Sn, ( ) — циклическая подгруппа в Sn, порожденная подстановкой . Тогда: f1; 2; : : : ; ng( ) — полигон над группой ( ), его различные орбиты — это в точности непересекающиеся циклы подстановки ( ), перестановочные между собой.

Пример 3 (регулярное представление левыми умножениями).

Пусть MG = GG с умножением (g; x) ! gx для x 2 G, g 2 G. Ясно, что: (hg)x = h(gx) (для x; g; h 2 G, ассоциативность умножения в группе);

то g — сюръекция. Итак, g 2 S(G). Так как для x; g; h 2 G имеем

hgx = (hg)x = h(gx) = h( gx);

т. е. hg = h g, то отображение : G ! Sr(G), (g) = g, является гомоморфизмом групп.

Если g; g′ 2 G и g = (g) = (g′) = g′ , то g = eg = eg′ = g′. Таким образом, — инъективный гомоморфизмом.

Итак, мы доказали следующее утверждение.

2

Теорема 1 (Кэли). Регулярное представление группы G правыми умножениями

G Sr(G) = S(G); g ; x = gx;

! ! g g

является инъективным гомоморфизмом.

Следствие 1. Всякая группа G изоморфна некоторой подгруппе G′ группы подстановок S(G) на множестве G.

Следствие 2. Если n = jGj < 1, то группа G изоморфна некоторой подгруппе G′ группы подстановок Sn. С точностью до изоморфизма существует лишь конечное число групп порядка n.

Замечание 1. К сожалению, jSnj = n!, и подгрупп в Sn из n элементов достаточно много.

Пример 4. Пусть H — подгруппа группы G, рассмотрим полигон MH =

GH , (hx) ! hx для x 2 G, h 2 H. Если p; x 2 G, то St (p) = fh 2 H j hp = pg = feg и Orb (x) = Hx — левы й смежный класс Hx по подгруппе H, порожденный элементом x 2 G. Таким образом, в этом частном случае полигона GH разбиение на орбиты превращается в хорошо знакомое нам

разбиение группы в объединение непересекающихся различных левых

:

смежных классов G = Hx, и как следствие подсчета элементов по орбитам имеем

∑∑

jGj = j Orb (x)j = jHxj = [G : H]jHj

(т. е. теорему Лагранжа).

3

Пример 5 (действие группы G левыми умножениями на множестве правых смежных классов). Пусть H — подгруппа группы G,

MG = fxH; x 2 Gg; g(xH)g = gxH для x; g 2 G

(это умножение корректно: если xH = x′H, то x′ = xh, h 2 H, и поэто-

гон над группой G. Так как Orb (xH) = MG, то это действие группы G транзитивно.

Пример 6 (действие группы G на группе G сопряжением).

Пусть MG = GG, (g; m) ! gmg 1 = gm для m; g 2 G. Так как для m; g; h 2 G имеем

m hg = (hg)m(hg) 1 = h(gmg 1)h 1 = h( gm);

т. е. hg = h g,

em = eme 1 = m;

то MG = GG с сопряжением — левый G-полигон.

НОРМАЛИЗАТОРЫ ПОДГРУПП

Пример 7. Пусть LG = L(G) — совокупность всех подгрупп H группы G, (g; H) ! gHg 1, g ! G (действие группы G на подгруппах сопряжением).

Определение 1. Стабилизатор подгруппы H при этом действии группы G сопряжениями St (H) = fg 2 G j gHg 1 = Hg называется нормализатором подгруппы H в группе G (для него используется обозначение

NG(H)).

4

Итак, NG(H) = St (H) = fg 2 G j gHg 1 = Hg.

Лемма 1 (свойства нормализатора NG(H)).

1)NG(H) — подгруппа группы G, содержащая подгруппу H;

2)H NG(H);

3)если H K G (т. е. K — подгруппа группы G, содержащая

подгруппу H и H — нормальная подгруппа в K), то K NG(H), и, таким образом, NG(H) — наибольшая подгруппа, содержащая H в качестве нормальной подгруппы (конечно, если H G, то NG(H) = G).

Доказательство.

1) Так как NG(H) = St (H), то ясно, что NG(H) (как любой стабилизатор) — подгруппа группы G.

2)Если g ! NG(H), то gHg 1 = H, т. е. H NG(H) (т. е. H — нормальная подгруппа группы NG(H)).

3)Если H K G, то для любого элемента g 2 K имеем gHg 1 = H (поскольку H — нормальная подгруппа группы ), т. е. g 2 St (H) =

NG(H), и поэтому K NG(H).

Упражнение 1. Если B — подгруппа, лежащая в нормализаторе NG(A)

подгруппы A группы G, то AB — подгруппа группы G и AB=A B=A \

=

B.

КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Если x 2 G, то при сопряжении орбита элемента

Orb (x) = fgxg 1 j g 2 Gg —

5