3.2 Логика высказываний и логика предикатов

-местный предикат

Предикат, содержащий переменных (аргументов) (обозначается ).

Аксиомы логики высказываний

Аксиомами логики высказываний является некоторое множество общезначимых формул логики высказываний.

Антецедент

В импликации высказываниеназываетсяантецедентом.

То же, что и условие, посылка.

Атом (в логике высказываний)

Высказывание, которое соответствует простому повествовательному предложению, т.е. не имеет составных частей.

То же, что и элементарное высказывание, атомарная формула.

Атом (в логике предикатов)

Если  -местный предикат и термы, то называется атомом.

То же, что и элементарная формула логики предикатов.

Атомарная формула

То же, что и элементарное высказывание, атом.

Вывод в исчислении высказывания

Всякая последовательность формул такая, что для любогоформулаесть либо аксиома, исчисления высказываний, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул, полученных по правилу вывода.

Выполнимые формулы

Все формулы, не относящиеся к противоречивым, образуют множество выполнимых формул.

Высказывание

Утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, но ни то и другое одновременно.

Высказывательная переменная

Переменная, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь», т.е. принимать истинностное значение.

Двуместный предикат

Предикат, имеющий две переменные (может обозначаться, например, , где− переменные).

Дедуктивный вывод

Вывод формулы из формулы, основанный на том, чтоявляется логическим следствием.

Дизъюнкция высказываний и

Высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказыванияи.

Дистрибутивные свойства кванторов

;

,

где − любой из кванторовили.

Закон де Моргана для кванторов

; .

Закон замены связанной переменной

, .

Заключение

В импликации высказываниеназывается заключением.

То же, что и следствие, консеквент.

Замкнутая формула

Формула логики предикатов, которая не имеет свободных переменных.

Импликация высказываний и

Высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когдаистинно, аложно.

Индивидуальный символ

Терм-константа называется индивидуальным символом.

То же, что и предметная константа.

Интерпретация высказывания

Приписывание истинностных значений атомам, из которых построено высказывание.

Интерпретация формулы логики предикатов

Интерпретация формулы состоит из элементов непустой предметной области, значений всех констант, функциональных символов и предикатов, встречающихся в.

Истинностное значение

Абстрактный объект («истина» или «ложь»), сопоставляемый высказыванию в зависимости от того, является это высказывание истинным или ложным. Обозначается: «истина» − И, Т (True) или 1, „ложь” – Л, F (False) или 0.

Исчисление высказываний

Исчисление высказываний, являясь формальной системой, представляет собой пример аксиоматической теории и один из возможных способов формализации логики высказываний.

Исчисление предикатов

Формальная система в логике предикатов.

Квантор всеобщности

Символ называется квантором всеобщности.

То же, что и квантор общности.

Квантор общности

То же, что и квантор всеобщности.

Квантор существования

Символ называется квантором существования.

Коммутативные свойства кванторов

; .

Консеквент

В импликации высказываниеназывается консеквентом.

То же, что и следствие, заключение.

Конъюнкция высказываний и

Высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказыванияи.

Логика высказываний

Алгебраическая структура ) с носителем – двоичным множеством {: «Ложь»,: «Истина»}, операциями (логическими связками): «» – конъюнкция, «» – дизъюнкция, «» – отрицание, «» – импликация, «~» – эквивалентность.

Логическая эквивалентность

Отношение эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). То же, что и равносильность.

Логическое следствие

Высказывание является логическим следствием высказывания, если формулаявляется тождественно истинной. Высказываниеявляется логическим следствием высказываний, если− тождественно истинная формула.

Множество истинностных значений

Множество {И, Л}.

Молекула

Сложное высказывание, которое можно построить из атомов с использованием логических связок.

То же, что и формула в логике высказываний.

Невыполнимая формула

Формула, которая принимает значение «ложь» на всех интерпретациях.

То же, что и тождественно ложная формула или противоречивая формула.

Независимая система аксиом

Если ни одну из аксиом системы исчисления высказываний нельзя вывести из остальных, применяя правила вывода данной системы, то говорят, что система аксиом независима.

Необщезначимая формула

Формула, которая на одних интерпретациях принимает значение «истина», а на других – «ложь».

То же, что и непротиворечивая формула.

Непротиворечивая формула

То же, что и необщезначимая формула.

Непротиворечивое логическое исчисление

Логическое исчисление непротиворечиво, если в нем не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Нульместный предикат

Нульместным предикатом считается высказывание.

Область действия квантора

Формула в выраженияхи, на которую распространяется действие квантора.

Область значений предиката

Фиксированное множество {И, Л}.

Область определения предиката

Множество значений , которое может приниматьв предикате.

То же, что универс или предметная область.

Общезначимая формула

Формула, которая принимает значение «истина» на всех интерпретациях (наборах значений переменных).

То же, что и тождественно истинная формула или тавтология.

Одноместный предикат

Предикат с одной переменной (может обозначаться, например, , где− переменная).

Отрицание высказывания

Высказывание (обозначение ), которое истинно тогда и только тогда, когдаложно.

Порядок предиката

Количество аргументов предиката .

Посылка

В импликации высказываниеназывается посылкой.

То же, что и условие, антецедент.

Правило введения квантора всеобщности

утверждает истинность , если доказана истинность для любого, то есть для всех элементовиз рассматриваемой предметной области.

Правило введения квантора существования

позволяет заключить, что является истинным, когда известен некоторый элемент, для которого истинно.

Правило -введения

То же, что и правило связывания квантором общности или правило обобщения.

Правило -введения

То же, что и правило связывания квантором существования

Правила вывода

Правила вывода позволяют получать новые формулы, которые являются истинными при условии истинности всех посылок, входящих в правило.

Правило обобщения

То же, что и правило связывания квантором общности или правило -введения.

Правило отделения

Правило отделения имеет следующий логический смысл: если посылка верна, то верно и следствие из неё.

Правило отделения в исчислении предикатов

Формулируется так же, как и в исчислении высказываний: .

Правило переименования связанной переменной.

Связанную переменную формулы можно заменить (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) другой переменной, не являющейся свободной в.

Правило подстановки

Правило подстановки выражает тот факт, что если в тождественно истинной формуле все вхождения какого-либо атома заменить на некоторую формулу, то полученное выражение останется тождественно истинным.

Правило связывания квантором общности

, где содержит свободные вхождения, аих не содержит.

То же, что и правило обобщения или правило -введения.

Правило связывания квантором существования

, где содержит свободные вхождения, аих не содержит.

То же, что и правило -введения.

Правило удаления квантора всеобщности

, где − произвольно выбранный элемент предметной области, в которой справедливо.

Правило удаления квантора существования

в истинной формуле заключается в указании имени элемента (конкретного или гипотетического), для которогоистинно.

Правильно построенная формула (в логике высказываний)

В логике высказываний правильно построенная формула определяется рекурсивно следующим образом: атом есть формула; если и формулы, то  также формулы; никаких формул, кроме порожденных указанными выше правилами, не существует.

Правильно построенная формула логики предикатов

Рекурсивно определяется следующим образом: атом является формулой; если и− формулы, тотакже являются формулами; если− формула, а− свободная переменная, тоитоже формулы; никаких формул, кроме порожденных указанными выше правилами, не существует.

Правильное рассуждение

Рассуждение, которое выражается тождественно истинной формулой.

Предваренная нормальная форма

Формула в логике первого порядка находится в предваренной нормальной форме (ПНФ) тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде, где каждое,, есть или, или, а− формула, не содержащая кванторов. Причемназывается префиксом, а− матрицей формулы.

Предикат

Функция , переменные которой принимают значения из некоторого множества, а сама она принимает два значения(истинное) и(ложное), т.е.(где).

Предметная константа

Терм-константа называется предметной константой.

То же, что и индивидуальный символ.

Предметная область

Множество значений , которое может приниматьв предикате.

То же, что область определения предиката или универс.

Предметная переменная

Терм-переменная называется предметной переменной.

Пропозициональная переменная

То же, что и высказывательная переменная.

Противоречивая формула

Формула, которая принимает значение «ложь» на всех интерпретациях.

То же, что и тождественно ложная формула или невыполнимая формула.

Равносильность

Отношение эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). То же, что и логическая эквивалентность.

Равносильные формулы

Формулы, которые на всех наборах значений входящих в них переменных принимают одинаковые значения.

Свободная переменная

Переменная в предикатной формуле, не связанная никаким квантором.

Связанная переменная

Переход от килиназывается связыванием переменной, а сама переменнаяв этом случае – связанной.

Следствие

В импликации высказываниеназывается следствием.

То же, что и заключение, консеквент.

Тавтология

Формула, которая принимает значение «истина» на всех интерпретациях (наборах значений переменных).

То же, что и тождественно истинная формула или общезначимая формула.

Теорема исчисления высказывания

Формула называется теоремой исчисления высказывания (как аксиоматической теории), если в ней существует вывод, в котором последней формулой является. Этот вывод называется выводом формулы.

Терм

Любой аргумент предиката .

Тождественно истинная формула

Формула, которая принимает значение «истина» на всех интерпретациях (наборах значений переменных).

То же, что и тавтология или общезначимая формула.

Тождественно ложная формула

Формула, которая принимает значение «ложь» на всех интерпретациях.

То же, что и противоречивая формула или невыполнимая формула.

Универс

Множество значений , которое может приниматьв предикате.

То же, что область определения предиката или предметная область.

Условие

В импликации высказываниеназывается условием.

То же, что и антецедент, посылка.

Формула в логике высказываний

Сложное высказывание, которое можно построить из атомов с использованием логических связок.

То же, что и молекула.

Функциональный символ

Строчная буква латинского алфавита или осмысленные слова из строчных букв (например: минус() – функциональный символ «», отец () – функциональный символ «отец человека »).

Эквиваленция высказываний и

Высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когдаилибо оба истинны, либо оба ложны.

Элементарная формула логики предикатов

То же, что и атом.

Элементарное высказывание

То же, что и атом, атомарная формула.

Язык исчисления высказываний

Язык исчисления высказываний, являясь формальным языком для математических рассуждений, состоит из формул логики высказываний, правильно построенных с использованием алфавита данной логики.