3. Основы математической логики

3.1 Двоичная логика. Булевы функции и преобразования

n-мерный булевый куб

Множество всех двоичных слов (обозначаемое как ), содержитэлементов-слов, т.е..

Алгебра Жегалкина

Алгебра , образованная множествомвместе с операциями конъюнкции (), суммы по модулю 2 () и константами 0 и 1.

Алгебра логики

Двухэлементная булева алгебра , где носитель алгебры, и в которой множество операций дополнено двумя бинарными операциями: импликациейи эквивалентностью.

Булева алгебра (двухэлементная)

Алгебраическая структура , гдеи операцияесть конъюнкция,есть дизъюнкция, «» есть отрицание.

Булева функция

Функция вида , аргументыи значениякоторой принадлежат множеству.

Булевы константы

Значения 0 и 1 из множества .

Булевы переменные

Переменные, которые могут принимать значения только из множества .

Булевый базис

Базис, состоящий из отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Булевый набор

Совокупность конкретных значений аргументов булевой функции.

Двоичное слово (-слово)

Совокупность конкретных значений аргументов булевой функции.

Двойственная функция

Функция называетсядвойственной к функции , если.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Формула, представленная в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Дизъюнктивное поглощение

, где  некоторая элементарная конъюнкция переменных;  булева переменная.

Дизъюнктивное ядро булевой функции

Такое множество её простых импликант, которое образует покрытие , но после удаления импликанты теряет это свойство, то есть перестает быть полной системой импликант.

Длина полинома Жегалкина

Количество попарно различных элементарных конъюнкций в полиноме Жегалкина.

Единичный элемент (единица)

Элемент 1 из множества .

Закон ассоциативности (сочетательный закон)

; .

Законы де Моргана

; .

Закон дистрибутивности (распределительный закон)

; .

Закон идемпотентности

; .

Закон инволюции (двойного отрицания)

.

Закон исключенного третьего

.

Закон коммутативности (переместительный закон)

; .

Закон поглощения (элиминации)

; .

Закон противоречия

.

Закон тождества (свойство констант)

; ;;.

Замкнутый класс булевых функций

Класс (множество) называется замкнутым классом, если (где некоторое подмножество функций из ).

Замыкание множества булевых функций

Множество , состоящее из функций, представимых в виде формул через функции множества(где некоторое подмножество функций из ).

Импликанта

Импликантой некоторой функции называется функция, такая, что на всех интерпретациях, на которыхравна единице,тоже равна единице.

Имплицента

Импликантой некоторой функции называется функция, такая, что на всех интерпретациях, на которыхравна нулю,тоже равна нулю.

Инверсия

Функция , равная 1, когда аргумент принимает значение 0, и равная 0 при аргументе 1.

Индекс (коэффициент) простоты

Коэффициент, характеризующий «сложность» ДНФ (КНФ).

Интерпретация булевой функции

Для булевой функции конкретное (индивидуальное) значение булевого набора.

Инфисная запись формул

Запись формул, при которой знаки функций стоят между аргументами.

Классы Поста

−класс функций, сохраняющих 0; − класс функций, сохраняющих 1;− класс самодвойственных функций;− класс монотонных функций;− класс линейных функций.

Конституента единицы

Булева функция аргументов, которая принимает значение, равное 1, только на одной интерпретации (наборе).

То же, что и минтерм -го ранга

Конституента нуля

Булева функция аргументов, которая принимает значение, равное 0, только на одной интерпретации (наборе).

То же, что и макстерм -го ранга

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Формула, представленная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций.

Конъюнктивное поглощение

, где  некоторая элементарная дизъюнкция переменных;  булева переменная.

Кортеж

Совокупность конкретных значений аргументов булевой функции.

Линейная функция

Булева функция, которая представляется в алгебре Жегалкина каноническим многочленом (полиномом Жегалкина), не содержащем конъюнкций переменных:, где коэффициенты, принимающие значение 0 или 1.

Логические переменные

То же, что и булевы переменные.

Логическая функция

То же, что и булева функция.

Макстерм -го ранга

Член конъюнктивной нормальной формы, представляющий собой элементарную конъюнкцию букв.

Макстерм -го ранга

То же, что и конституента нуля.

Минимальная ДНФ (МДНФ) булевой функции

Одна из её тупиковых ДНФ, которой соответствует наименьшее значение критерия минимизации (индекса простоты) ДНФ.

Минимальная КНФ (МКНФ) булевой функции

Одна из её тупиковых КНФ, которой соответствует наименьшее значение критерия минимизации (индекса простоты) КНФ.

Минимально полный базис

Система функций называется минимально полным базисом, если удаление из неё любой функции превращает эту систему в неполную.

Минтерм -го ранга

Член дизъюнктивной нормальной формы, представляющий собой элементарную конъюнкцию букв.

Минтерм -го ранга

То же, что и конституента единицы.

Монотонная функция

Функция называетсямонотонной, если для любых двух наборов и, находящихся в отношении предшествования (нестрогого порядка), имеет место и неравенство.

Неполное дизъюнктивное склеивание

, где  некоторая элементарная конъюнкция переменных;  булева переменная.

Неполное конъюнктивное склеивание

, где  некоторая элементарная дизъюнкция переменных;  булева переменная.

Несократимая полная система булевых функций,

Полная система булевых функций, из которой нельзя исключить ни одной булевой функции без потери свойств полноты.

Номер интерпретации (кортежа)

Десятичный эквивалент двоичного представления интерпретации.

Нулевой элемент (нуль)

Элемент 0 из множества .

Область определения булевой функции

Множество слов длины , которые представляют собой всевозможные наборы издвоичных цифр и их общее количество равно.

Ослаблено функционально полная система

Система функций из, суперпозицией которых может быть представлена любая функция из некоторого множества булевых функций и в которой допускаются константы 0 и 1.

То же, что и функционально полная система булевых функций в слабом смысле.

Отрицание

Функция , равная 1, когда аргумент принимает значение 0, и равная 0 при аргументе 1.

Переключательная функция

То же, что и булева функция.

Покрытие функции

Множество , состоящее из импликант функции, если каждое единичное значение функциипокрывается единицей хотя бы одной импликанты из множества.

Полином Жегалкина

Конечная сумма по модулю 2 попарно различных элементарных конъюнкций над множеством переменных .

Полная система импликант функции

То же, что и покрытие функции.

Полная система имплицент функции

Множество , состоящее из имплицент функции, если каждое единичное значение функциипокрывается нулем хотя бы одной имплиценты из множества.

Полное дизъюнктивное склеивание

, где  некоторая элементарная конъюнкция переменных;  булева переменная.

Полное конъюнктивное склеивание

, где  некоторая элементарная дизъюнкция переменных;  булева переменная.

Полностью определенная функция

Функция, зависящая от аргументов, является полностью определенной, если указаны её значения для всех наборов (кортежей, слов) значений элементов.

Принцип двойственности

Указывает правило получения двойственных формул в булевой алгебре.

Простая импликанта функции

Такая конъюнкция-импликанта, что никакая её собственная часть не является импликантой данной функции.

Простая имплицента функции

Такая дизъюнкция-имплицента, что никакая её собственная часть не является имплицентой данной функции.

Равносильные формулы

Формулы, представляющие одну и ту же функцию.

Ранг элементарной конъюнкции

Количество переменных, входящих в элементарную конъюнкцию.

Самодвойственная функция

Функция, двойственная сама себе, т.е. .

Собственной частью конъюнкции

Всякая элементарная конъюнкция , входящая в состав элементарной конъюнкциии содержащая меньше переменных, чем конъюнкция.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) булевой функции

Формула, представленная в виде дизъюнкции конституент единицы булевой функции.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) булевой функции

Формула, представленная в виде конъюнкции конституент нуля булевой функции.

Сокращенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Дизъюнкция всех простых импликант функции.

Сокращенная конъюнктивная нормальная форма КНФ

Конъюнкция всех простых имплицент функции.

Суперпозиция

Прием получения новых функций путем подстановки значений одних функций вместо значений аргументов других функций.

Таблица истинности

Таблица, в которых каждой интерпретации (то есть набору аргументов) функции поставлено в соответствие её значение.

Таблица соответствия

То же, что и таблица истинности.

Тупиковая дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) булевой функции

ДНФ булевой функции, состоящая только из простых импликант.

Тупиковая дизъюнктивная нормальная форма (КНФ) булевой функции

КНФ булевой функции, состоящая только из простых имплицент.

Формула

Выражение, содержащее булевы функции и их суперпозиции.

Формула, реализующая (представляющая) функцию

Формула, которая задает булеву функцию.

Функционально полная система булевых функций

Система функций из(где− множество всех возможных булевых функций, зависящих от любого числа переменных), в которой любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы (в виде суперпозиции функций из этой системы).

Функционально полная система булевых функций в слабом смысле

Система функций из, суперпозицией которых может быть представлена любая функция из некоторого множества булевых функций и в которой допускаются константы 0 и 1.

То же, что и ослаблено функционально полная система.

Функция, сохраняющая единицу (1)

Булева функция , которая на единичном наборе равна 1, т.е..

Функция, сохраняющая ноль (0)

Булева функция , которая на нулевой наборе равна 0, т.е..

Эквивалентные формулы

Формулы, представляющие одну и ту же функцию (то же, что и равносильные формулы).

Элементарная дизъюнкция

Дизъюнкция любого числа булевых переменных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.

Элементарная конъюнкция

Конъюнкция любого числа булевых переменных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.