2. Отношения и их свойства

-арное отношение

Подмножество декартова произведения множеств , т.е. .

-местное отношение

То же, что и -арное отношение.

Антирефлексивность

Отношение на множественазывается антирефлексивным, если изследует, что.

Антисимметричность

Отношение на множественазывается антисимметричным, если изиследует, что

Антитранзитивность

Отношение на множественазывается антитранзитивным, если для любыхизиследует, что не выполняется.

Асимметричность

Отношение называется асимметричным, если, т.е. из двух соотношенийипо меньшей мере одно не выполняется.

Атрибут

Наименование столбца таблицы данных (реляционной таблицы).

Биективное отображение

Функция называется биективным отображением, если она одновременно сюръективна и инъективна.

Биективная функция

То же, что и биективное отображение.

Бинарное отношение

Подмножество декартового произведения на паре множестви.

То же, что и двухместное отношение.

Взаимно однозначное отображение

Такое отображение между элементами двух множеств, при котором каждому элементу первого множества соответствует только один элемент второго множества, и обратно  каждому элементу второго множества соответствует только один элемент первого. Частный вид отображения.

Графом редукции

Граф транзитивного отношения, в котором изображается только путь из в, а обусловленные транзитивностью дуги опускаются.

Двухместное отношение

То же, что и бинарное отношение

Декартово произведение

Множество всех возможных упорядоченных наборов изэлементов, в которых первый элемент принадлежит множеству, второй множеству ,-й множеству .

Декартов квадрат

Декартово произведение, в котором одно и то же множество умножается два раза само на себя.

Декартов куб

Декартово произведение, в котором одно и то же множество умножается три раза само на себя.

Декартова степень

Декартово произведение , в котором одно и то же множествоумножаетсяраз само на себя.

Диаграмма Хассе

Схема, которой наглядно можно представить любое частично упорядоченное множество.

Деление отношений

Операция реляционной алгебры. Результирующее отношение содержит те атрибуты делимого, которые не присутствуют в делителе. Значения этих атрибутов берутся из тех кортежей делимого, которые включают в себя кортежи делителя. Отношение-делитель должно иметь набор атрибутов, включенный в набор атрибутов делимого.

Домен

Множество или область данных, на которых определено отношение в реляционной алгебре.

Естественное соединение отношений

Операция реляционной алгебры. При естественном соединении двух отношений образуется результирующее отношение, кортежи которого являются соединением кортежей первого и второго отношений, если значение общих атрибутов совпадает.

Запись отношения

Элементы отношения, соответствующие строкам реляционной таблицы (упорядоченное множество).

То же, что и кортеж.

Инъективное отображение

Функция , для любых элементовкоторой изследует.

Инъективная функция

То же, что и инъективное отображение.

Классы эквивалентности

Непересекающиеся подмножества , на которые разбивается множество.

Композиция отношений

Отношение , состоящее из всех тех пар, для которых существует такое, чтои.

Кортеж

Элементы отношения, соответствующие строкам реляционной таблицы (упорядоченное множество).

Линейный порядок

Частичный порядок, если любые два элемента ииз множествасравнимы, т.е.и.

Линейно упорядоченное множество

Множество , на котором задано отношение частичного порядкаи для которого любые два элемента этого множества сравнимы.

Матричный способ задания отношений основан на представлении отношения соответствующей ему прямоугольной таблицей (матрицей).

Несравнимые элементы

Элементы отношения (пары , для которых ни одно из соотношенийилине имеет места.

Область значений отношения

Множество всех вторых координат упорядоченных пар из бинарного отношения .

Область значений отображения

Множество , где значения функции.

Область определения отношения

Множество первых координат упорядоченных пар из бинарного отношения .

Образ

То же, что и область значений отображения.

Обратное отношение

Подмножество множества , образованное теми парами, для которых.

Объединение отношений

Теоретико-множественная операция на отношениях. При выполнении операции объединения двух отношений получаем отношение, включающее все кортежи, входящие хотя бы в одно из отношений-операндов.

Ограничение отношений

Операция реляционной алгебры. Результатом ограничения отношения по некоторому атрибуту или атрибутам является отношение, состоящее в точности из тех кортежей, которые удовлетворяют условию.

Одноместное отношение

Подмножество множества (признак).

Отношение нестрогого порядка

Отношение в множестветакое, что для любыхизвыполняются свойства рефлексивности, антисимметричности, транзитивности.

Отношением строгого порядка

Отношение в множестветакое, что выполняются свойства антирефлексивности, асимметричности, транзитивности.

Отношение толерантности

Отношение в множестветакое, что выполняются свойства рефлексивности и симметричности.

Отображение

Бинарное отношение из множества в множествотакое, что область определения функции, область значений функциии из,следует, что.

Отношения-операнды

Отношения, к которым применяется операция реляционной алгебры.

Отношение частичного порядка

То же, что и отношение нестрогого порядка.

Отношение эквивалентности

Отношение в множестве для которого выполняются свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности.

Пересечение отношений

Теоретико-множественная операция над отношениями. При выполнении операции пересечения двух отношений получаем отношение, включающее только те кортежи, которые входят в оба отношения-операнда.

Полное

Отношение , которое имеет место для каждой парыэлементов из.

Полностью упорядоченное множество

То же, что и линейно упорядоченное множество (или цепь).

Полный порядок

То же, что и линейный порядок.

Проекция отношений

Операция реляционной алгебры. При выполнении проекции отношения на заданный набор его атрибутов отношение-результат получается путем удаления из отношения-операнда атрибутов, не указанных в заданном наборе.

Прообраз

Если множество , то множествоназывается прообразом множества относительно отображения .

Пустое отношение

Отношение в , которому не удовлетворяет ни одна пара элементов из.

Разность отношений

Теоретико-множественная операция над отношениями. Отношение, являющееся разностью двух отношений, включает все кортежи, входящие в отношение-первый операнд, такие, что ни один из них не входит в отношение, являющееся вторым операндом.

Рефлексивность

Отношение называется рефлексивным, еслипринадлежитдля всехиз, т.е. оно всегда выполняется между объектом и им самим ().

Реляционная алгебра

Алгебра , в которой  множество отношений, составляющих базу данных, а сигнатура кроме операций объединения, пересечения, разности, декартова произведения включает специальные операции над отношениями: ограничение отношений (выбор), проекцию отношений, соединение отношений, деление отношений.

Реляционная модель данных

Модель данных, которая с математической точки зрения является табличным представлением данных (двумерная таблица).

Сечение отношения

Если , тосечение отношения по элементу, обозначаемое, есть множество, состоящее из элементовтаких, что, т.е..

Симметричное отношение

То же, что и обратное отношение.

Симметричность

Отношение называется симметричным, если, т.е. при выполнении соотношениявыполняется и соотношение(выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще).

Система представителей отношения эквивалентности

Подмножество из множества , содержащее по одному и только одному элементу из каждого класса некоторого разбиения множества.

Соответствие

Если и, тои . В таких случаях есть отношение отк, называется соответствием и обозначается .

Сравнимые элементы

Элементы иназываются сравнимыми в отношении частичного порядка, если выполняется хотя бы одно из соотношенийили.

Схема отношения

Список атрибутов реляционной таблицы.

Сюръективное отображение

Функция называется сюръективным отображением, если . Длясюръективной функции для любого существуеттакой, что .

Сюръективная функция

То же, что и сюръективное отображение.

Тождественное отношение

Отношение, равносильное .

Транзитивность

Отношение называетсятранзитивным, если, т.е. изиследует.

Унарное отношение

То же, что и одноместное отношение.

Универсальное отношение

То же, что и полное отношение.

Упорядоченное множество

Множество, в котором определено отношение порядка.

Фактор-множество

Множество всех сечений отношения называетсяфактор-множеством множества по отношениюи обозначают.

Функциональное отношение

Отношение называется функциональным, если его элементы (упорядоченные пары) имеют различные первые координаты.

Функция

То же, что и отображение

Цепь

То же, что и линейно упорядоченное множество.

Частично упорядоченное множество

Если на множестве задано отношение частичного порядка, то это множество называется частично упорядоченным.

Частичная функция

Если вместо в функциональном отношении выполняется, тоназывается частичной функцией.