Тема: системы счисления

Система счисления - совокупность приемов и правил для установления однозначного соответствия между любым числом и его представлением в виде некоторой совокупности знаков (символов). Запись числа в некоторой системе счисления называют кодом числа. Кратко число записывается следующим образом:

.

где: А_КЭЧ - количественный эквивалент числа (А);

( a_na_n-1….a₂a₁a₀ ) - цифры из множества, с помощью которых можно представить число (А);

n - количество разрядов в числе.

Например:

456 =	4 5 6
разряды-	2-1-0

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Тогда количественный эквивалент числа - (КЭЧ) - (А), заданного в определенной системе счисления, является некоторой функцией числовых эквивалентов всех его цифр, т.е.:

.

где: К(А) - количественный эквивалент числа (А);

К (а_n) - максимальный количественный (числовой) эквивалент цифры числа (А), находящийся в крайнем левом разряде;

К (а₀) - минимальный количественный (числовой) эквивалент цифры числа (А), находящийся в крайнем правом разряде;

Следовательно при любой конечной разрядной сетке КЭЧ (А) будет принимать в зависимости от количественных эквивалентов отдельных разрядов значения от К(А)_min до К(А)_max.

.

где: D - диапазон представимых чисел в определенной системе счисления;

К(А)_(р)max - максимальный количественный эквивалент числа (А) по основанию (р);

К(А)_(р)mіn - минимальный количественный эквивалент числа (А) по основанию (р).

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

- возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;

- однозначность представления;

- краткость и простоту записи чисел;

- легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперирования ею.

2.1 Классификация систем счисления

В настоящее время различают позиционные и непозиционные системы счисления. Классификация систем счисления приведена на рис. 2.1.

Непозиционная система счисления: это такая система счисления, в которой каждой цифре на любом ее месте в записи числа однозначно соответствует один и тот же количественный эквивалент.

Наиболее известным примером такой системы является римская система счисления:

Десятичные числа:	1	5	10	50	100	500	1000
Римские цифры:	I	V	X	L	C	D	M

В римской системе счисления несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются:

XXX = X+X+X= 30₍₁₀₎.

Если рядом стоят разные цифры, причем младшая – справа от старшей, то они также суммируются:

XVI = X+V+I = 16₍₁₀₎.

Если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры:

IX = X – I = 9₍₁₀₎.

Недостатки римской системы счисления заключаются в следующем:

- в пределе, теоретически, она имеет бесконечное количество цифр;

- арифметические действия над числами очень сложны;

- отсутствует цифра {0}.

Позиционная система счисления: это такая система счисления, в которой одной и той же цифре в зависимости от ее местоположения в записи числа соответствуют различные количественные эквиваленты. Наиболее известным примером такой системы является десятичная система счисления, например: цифры 1 и 2 в зависимости от местоположения этих цифр в числе изменяется значение самого числа:

Разряды:	Десятки	Единицы
Цифры:	1	2

При таком положении цифр получается число двенадцать (12₍₁₀₎).

Если поменять местами цифры 1 и 2:

Разряды:	Десятки	Единицы
Цифры:	2	1

получается число двадцать один (21₍₁₀₎).

Любое число в позиционной системе счисления может быть записано в виде:

. (2.4)

где - количественный эквивалент числа (А), состоящего из (n) цифр;

- цифра, ;

- основание системы счисления.

Правило: Количественный эквивалент числа в позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с (0).

Например: , n=4, p=10, тогда можно записать:

. (2.5)

тогда:

.

Однородность системы счисления означает, что во всех разрядах числа, записанного в такой системе, используют цифры из одного и того же множества.

Например, в обычной десятичной системе счисления во всех разрядах числа используются цифры из множества:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

в двоичной системе счисления используются цифры из множества:

{0,1},

в троичной системе счисления используются цифры из множества:

{0,1,2},

в пятеричной системе счисления используются цифры из множества:

{0,1,2,3,4},

в восьмеричной системе счисления используются цифры из множества:

{0,1,2,3,4,5,6,7},

в шестнадцатеричной системе счисления при записи числа используются цифры и буквы:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.

Если позиционная система счисления однородная с непосредственным представлением цифр и с естественным порядком весов, то любое число может быть представлено в виде суммы попарных произведений:

. (2.6)

где - количественный эквивалент числа (А);

- цифра,

- основание системы счисления.

s - количество разрядов в целой части числа слева от запятой;

m - количество разрядов в дробной части числа справа от запятой.

Исходя из выше сказанного можно записать:

.

или: .

Соответствие чисел в (10 - ой), (16 – ой), (8 – ой) и (2 – ой) системах счисления приведены в таблице:

Таблица - Соответствие чисел в (10 - ой), (16 - ой), (8 - ой) и (2 - ой) системах счисления

Десятеричная Х(10)	Шестнадцатеричная Х(16)	Восьмеричная Х(8)	Двоичная Х(2)
0	0	0	0000
1	1	1	0001
2	2	2	0010
3	3	3	0011
4	4	4	0100
5	5	5	0101
6	6	6	0110
7	7	7	0111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
10	А	12	1010
11	В	13	1011
12	С	14	1100
13	D	15	1101
14	Е	16	1110
15	F	17	1111

Помимо позиционных однородных систем известны также позиционные неоднородные (смешанные) системы счисления.

В таких системах цифры в разных разрядах могут принимать значения из различных множеств.

Задают неоднородные системы с помощью двухстрочных матриц вида:

. (2.7)

Здесь в первой строке матрицы указано число разрядов (t_i), отводимых в (i-й) группе разрядов (i=) представления числа для записи цифр по основанию (k_i), которое указано во второй строке того же столбца.

Лекция №3 (90-минут)