Практическое занятие по теме «Определённый интеграл»

Практическое занятие по теме «Определённый интеграл»

Теоретические аспекты

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b]

c₁ c_i c_n

X

a=x₀ x₁ … x_i-1 x_i … x_n = b

c_i ϵ [x_i-1 ; x_i] x_i = x_i – x_i-1

Если интегральная сумма S_n имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на малые отрезки, ни от выбора точек в каждом из них,

Теорема 1 (Коши)

Теорема 2 (формула Ньютона-Лейбница)

Если f (x) - непрерывна на [a;b] и F(x) — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство:

Основные свойства:

Если y = f(x) интегрируема на [a;b], то

6^о. (теорема о среднем)

Если f(x) непрерывна на [a;b], то существует такая точка c ϵ [a;b],что

8^о. Если f₁(x), f₂(x)- непрерывны на [a;b] и f₁(x) f₂(x) на [a;b],

9^о. (оценка интеграла)

Если m – наименьшее, M – наибольшее значения функции f(x) на [a;b],

11^о. Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом

Геометрический смысл определённого интеграла

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

Физический смысл определённого интеграла

Пусть некоторая материальная точка M перемещается под действием силы F= F(x), которая направлена вдоль оси абсцисс (здесь x – абсцисса движущейся точки M).

Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F= F(x), действующей на отрезке [a;b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по

Методы интегрирования

1. Замена переменной

2. Интегрирование по частям

где u=u(x) , v=v(x) – непрерывны на [a, b]; du=u’(x)dx , dv=v’(x)dx

Несобственные интегралы

I рода (промежуток интегрирования бесконечен) :

II рода (на [a;b] существует точка c в которой f(c) имеет разрыв):

1. если точка разрыва - a (или b)

2. если c ϵ [a;b] - точка разрыва

Замечание: При этом несобственный интеграл называется сходящимся если предел конечен, и расходящемся если предел равен ∞ или не существует

Практические задания

№1 Вычислить определённый интеграл

№2 Вычислить определённый интеграл

№3 Вычислить определённый интеграл

№4 Вычислить несобственный интеграл (бесконечный интервал интегрирования)

№5 Вычислить несобственный интеграл (разрыв функции на интервале интегрирования)