Оценка факторов

Математический аппарат, используемый в факторном анализе, в действительности позволяет не вычислять непосредственно главные оси. И факторные нагрузки до и после вращения факторов и общности вычисляются за счет операций с корреляционной матрицей. Поэтому оценка значений факторов для объектов является одной из проблем факторного анализа.

Факторы, имеющие свойства полученных с помощью метода главных компонент, определяются на основе регрессионного уравнения. Известно, что для оценки регрессионных коэффициентов для стандартизованных переменных достаточно знать корреляционную матрицу переменных. Корреляционная матрица по переменным X_iиF_kопределяется, исходя из модели и имеющейся матрицы корреляцийX_i. Исходя из нее, регрессионным методом находятся факторы в виде линейных комбинаций исходных переменных:.

Статистические гипотезы в факторном анализе

В SPSS предусмотрена проверка теста Барлетта о сферичности распределения данных. В предположении многомерной нормальности распределения здесь проверяется, не диагональна ли матрица корреляций. Если гипотеза не отвергается (наблюдаемый уровень значимости велик, скажем больше 5%) - нет смысла в факторном анализе, поскольку направления главных осей случайны. Этот тест предусмотрен в диалоговом окне факторного анализа, вместе с возможностью получения описательных статистик переменных и матрицы корреляций. На практике предположение о многомерной нормальности проверить весьма трудно, поэтому факторный анализ чаще применяется без такого анализа.

Задание факторного анализа

Задание факторного анализа может быть весьма простым. Например, достаточно задать команду FACTOR и подкоманду VARIABLES с указанием переменных и запустить команду на счет. Однако если удобнее самому управлять расчетами, то следует задать некоторые параметры.

Рассмотрим работу такой команды на агрегированном по городам файле наших учебных данных (напоминаем, что объектами этого файла являются города, в которых проводился опрос по поводу возможности передачи Японии курильских островов, см. выше).

FACTOR /VARIABLES W3D1 TO W3D6 /PLOT EIGEN

/CRITERIA FACTORS (2) /SAVE REGRESSION (ALL F).

Команда задана для получения факторов по переменным - долям числа респондентов, указавших различные причины неподписания договора (/VARIABLES W3D1 TO W3D6): W3D1 - нет необходимости; W3D2 - традиционное недоверие; W3D3 - незаинтересованность Японии; W3D4 - разные политические симпатии; W3D5 - нежелание Японии признать границы; W3D6 - нежелание СССР рассматривать вопрос об островах.

Подкоманда /PLOT EIGEN - выдает графическую иллюстрацию долей объясненной дисперсии. Подкоманда /CRITERIA FACTORS (2) задает получение 2-х факторов; если этой подкоманды не будет, программа сама определит число факторов. Заданием /SAVE REGRESSION (ALL f) мы получаем регрессионным методом непосредственно в активном файле оценки всех (ALL) факторов. Это будут переменные F1, F2 с заданным нами корневым именем F и добавленными к нему номерами факторов.

Рассмотрим результаты анализа. Таблица 7.1 содержит сведения об информативности полученных главных компонент. Первый фактор объясняет часть общей дисперсии, равную 2.402(40.04%), фактор 2 -1.393(23.21%), третий -.853 (14.22%)и т.д. Первые два фактора объясняют63.25% дисперсии, первые три -77.47%. Поскольку уже третья компонента объясяет менее 1 дисперсии, рассматривается всего 2 фактора - какой смысл рассмативать факторы, объясняющие меньше дисперсии, чем переменная из исходых данных?

Матрица факторных нагрузок факторов - главных компонент представлена в таблице 7.2. Мы не будем анализировать эту матрицу, а ниже подробнее проанализируем факторные нагрузки после вращения (таблица 7.3).

Таблица 7.1. Дисперсия, объясненная факторным анализом

	Initial Eigenvalues			Extraction Sums of Squared Loadings
Component	Total	% of Variance	Cumulative%	Total	% of Variance	Cumulative %
1	2.402	40.038	40.038	2.402	40.038	40.038
2	1.393	23.210	63.249	1.393	23.210	63.249
3	.853	14.220	77.468
4	.719	11.977	89.445
5	.345	5.752	95.197
6	.288	4.803	100.000

Extraction Method: Principal Component Analysis.

Таблица 7.2. Матрица факторных нагрузок

	Component
	1	2
W3D4 разные политические симпатии	.769	.327
W3D1 нет необходимости, отношения нормальны	-.723	.260
W3D3 незаинтересованность Японии	.674	.578
W3D2 недоверие к друг другу	-.569	-.315
W3D5 нежелание Японии признать границы	.527	-.647
W3D6 нежелание СССР рассматривать вопрос	-.481	.605

Таблица 7.3. Матрица факторных нагрузок после вращения факторов

	Component
	1	2
W3D3 незаинтересованность Японии	0.887	0.049
W3D4 разные политические симпатии	0.810	-0.208
W3D2 недоверие к друг другу	-0.643	0.095
W3D5 нежелание Японии признать границы	0.025	-0.834
W3D6 нежелание СССР рассматривать вопрос	-0.014	0.773
W3D1 нет необходимости, отношения нормальны	-0.416	0.646

Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization.

Факторные нагрузки этой матрицы свидетельствуют, что фактор 2 существенно связан с W3D6 - долей считающих, что договор не подписан, так как СССР не желает рассматривать вопрос об островах, и отрицательно - с долей считающих, что все беды из-за непризнания границ Японией (W3D5); имеется относитеельно небольшая положительная его связь с W3D1 - "нет необходимости, отношения нормальны". Можно условно назвать этот фактор "фактором несоветской ориентации".

Первыйй фактор связан с переменными W3D3 - "нет заинтересованности Японии", W3D4 "разные политические симпатии", и несколько слабее, отрицательно, с W3D2 - "недоверие к друг другу". Условно его можно назвать фактором "судьбы". Конечно, в серьезных исследованиях можно было бы проверить факторы с самых различных сторон, нам же пока достаточно пояснить принцип интерпретации, который состоит в формулировке содержания фактора, ухватывающего суть явления.

Сохраненные в виде переменных подкомандой SAVE факторы могут быть использованы для исследования данных, конструирования типологий и т.д. В частности, с помощью команды GRAPH мы получили поле рассеяния наших объектов - городов в просранстве двух переменных-факторов. По этому графику, например, можно заключить, что жители Александровска-Сахалинского проявили в Курильском опросе наибольшую "несоветскую" ориентацию; они менее всего склонны считать, что договора нет потому, что "так сложилось" из-за "недоверия" между странами и из-за разных политических симпатий.