аннотации / ООП ФГОС / Теория функций комплексного переменного / Теория функций комплексного переменного

Аннотация рабочей программы дисциплины «Теория функций действительного и комплексного переменного»

1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины являются: фундаментальная подготовка

в области теории функций действительного и комплексного переменного; овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Б3.В.3.6 Теория функций действительного и комплексного

переменного. Данная дисциплина является дисциплиной вариативной части профессионального цикла и входит в модуль 5 «Математика». Изучается в 7 семестре.

Для освоения дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел» и «Геометрия». Требования к входным знаниям и умениям студента – знание идей и методов математического анализа, геометрии и линейной алгебры.

Дисциплина «Теория функций действительного и комплексного переменного», призвана дополнить и обобщить некоторые идеи дисциплин «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел» и «Геометрия» и др., являющихся фундаментом высшего математического образования. Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины могут использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин магистерских программ.

Освоение дисциплины обеспечивает формирование профессиональных (ППК-1, ППК-4) компетенций.

3. Краткое содержание дисциплины Предмет дисциплины. Операции над множествами. Равномощные

множества. Теорема Кантора-Берштейна. Счетные множества. Свойства счетных множеств. Континуальные множества и их свойства. Булеан множества.

Открытые и замкнутые множества. Структура линейных множеств. Совершенные множества и их строение. Канторово совершенное множество и его свойства. Мощность совершенного множества. Внешняя и внутренняя меры линейного множества, их свойства. Множества, измеримые по Лебегу. Мера открытого и замкнутого множества. Мера Канторова совершенного множества. Критерий измеримости множества. Свойства множеств, измеримых по Лебегу. Свойства меры Лебега на прямой. Теорема Лузина.

Функции, измеримые по Лебегу и их свойства. Эквивалентные функции. Сходимость последовательности измеримых функций по мере. Теорема Лебега о взаимосвязи сходимости по мере со сходимостью в каждой точке. Теоремы о предельных функциях в случае сходимости по мере. Теоремы Егорова и Лузина. Сходимость по мере. Соотношения между различными типами сходимости.

Основы теории приближения функций. Основные понятия. Теория наилучшего приближения функций в нормированных пространствах. Теорема Вейерштрасса о возможности приближения непрерывных функций многочленами.

Комплексная плоскость (С). Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая проекция. Окрестности и области на С.

Функции комплексного переменного, их предел и непрерывность. Свойства предела и непрерывных функций. Производная, дифференцируемость и дифференциал ф.к.п. Критерий дифференцируемости ф.к.п. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.

Аналитичность ф.к.п. Гармонические функции двух переменных и их связь с аналитическими ф.к.п. Сопряженные гармонические функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

Линейная функция на С, ее свойства. Дробно-линейная функция, ее свойства. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции, их свойства. Формулы Эйлера.

Логарифмы, степень. Целая степенная функция. Многозначные функции (корень n-ой степени, логарифмическая), их непрерывные однозначные ветви и римановы поверхности.

Числовые и функциональные последовательности и ряды на С. Степенные ряды на С, их свойства. Единственность разложения аналитической функции в степенной ряд ( ряд Тейлора ).

Интеграл от ф.к.п. по кривой, его существование, вычисление и свойства. Интегральные теоремы Коши. Формула Коши.

Интеграл с переменным верхним пределом как первообразная ф.к.п. Формула Ньютона-Лейбница.

Обобщенные степенные ряды. Разложение аналитической в кольце функции в обобщенный степенной ряд (ряд Лорана). Оценка Коши коэффициентов ряда Лорана.

Изолированные особые точки ф.к.п., их классификация. Критерии особых точек. Теорема Сохоцкого. Связь нулей и полюсов. Вычет функции в изолированной особой точке. Теорема Коши о вычислении интегралов с помощью вычетов. Применение теории вычетов.