ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)
.pdf
60Занятие 7. Предельные теоремы для биномиального распределения
–определить, сколько надо провести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты = от вероятности было меньше с вероятностью не меньшей ;
–при данной вероятности вероятность успеха в одном испытании и
числе испытаний определить границу возможных изменений − .
Пример 7.4. Симметричную монету подбросили 1000 раз какая вероятность того, что абсолютное отклонение частоты появления решки от вероятности его появления 0,5 не превысит 0,01?
Решение. Возвращаясь к выкладкам предыдущей задачи при = 1000, = 0,5, = 0,01, имеем
= P |
|
|
− ≤ ≈ 2 |
( √ |
|
) |
− 1 = |
|||||
|
{ |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 (0, 01√ |
|
|
|
) − 1 = 2 (0, 63) − 1. |
||||||||
0, 5 · 0, 5 |
||||||||||||
Из таблиц приложения B находим, что (0, 63) = 0, 7357. Таким образом, окончательно имеем
= P |
{ |
|
− |
≤ } ≈ 2 · 0, 7357 − 1 = 0, 4714. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.5. Сколько раз необходимо подбросить симметричную монету для того, чтобы уклонение частоты появления герба от 0,5 не больше чем на 0,01 была не меньше 0,99.
Решение. В данном случае имеем = 0,5, = 0,01, = 0,99. Продолжая, получим
P |
|
|
− ≤ |
≈ 2 |
( √ |
|
) |
− 1 = 2 |
(0,01√ |
0,5 0,5 |
) |
− 1 > 0,99 |
||||||||||
|
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно |
|
(0, 01 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0, 5 |
|
0, 5 |
> 0, 995. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.2. Примеры решения задач |
|
|
|
|
|
61 |
|||
Из таблицы функции ( ), находим, что |
|
||||||||
|
|
|
0,01√ |
|
|
|
> 2,58. |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0,5 · 0,5 |
||||||
Таким образом |
[( |
0,01) |
· 0, 25] + 1 > 2582 |
|
|||||
> |
+ 1 > 16642. |
||||||||
|
|
2,58 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Пример 7.6. В среднем продается 80 % билетов трехсот местный зрительного зала театра. Найти границы, в которых с вероятностью 0,98 будет находиться число проданных билетов на представление в наудачу выбранный вечер.
Решение. По условию задачи = 300, = 0,8, = 0,98. Тогда
P |
|
|
− 6 |
≈ 2 ( √ |
|
) − 1 = 2 ( √ |
0,8 0,2 |
) |
− 1 = 0,98. |
|||||||||
|
{ |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжая, имеем |
( √ |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,8 · 0,2 |
= 0,99. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя таблицу A.2 приложения получим уравнение,
√
3000,8 · 0,2 = 2,33.
Таким образом, = 0,054
Следовательно с вероятностью 0,98 выполнено неравенство
|
|
− 0,8 |
≤ 0,054. |
|
300 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
223,8 6 6 256,2.
Окончательно, число проданных билетов на представление с вероятностью 0,98 будет лежать в пределах от 224 до 256.
Пример 7.7. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва
62 Занятие 7. Предельные теоремы для биномиального распределения
нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более чем на двух веретенах.
Решение. Обозначим через количество обрывов за 1 мин. Необходимо вычислить вероятность
P { > 2} = 1 − [ 0,002 (1000; 0) + 0,002 (1000; 1) − 0,002 (1000; 2)] .
В этом случае = 1000 · 0,002 · 0,998 = 1,996 < 9. Используя формулу Пуассона при = = 2, имеем
P { > 2} ≈ 1 − ( −2 + 2 −2 + |
22 |
−2) = 1 − 5 −2 ≈ 0,3233236. |
|
|
2! |
||
7.3Задания для аудиторной работы
1.Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.
2.В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий первого сорта будут от 300 до 340 изделий.
3.Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02 %. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденными не более 3 ручек.
4.Два процента электроламп, изготовленных на заводе, в среднем имеют брак. На контроль отобрано 1000 ламп. Оцените вероятность того, что относительная частота бракованных ламп отличается от средней вероятности не более чем на один процент.
5.Авиакомпания знает, что 5 % людей, делающих предварительный заказ на определенный рейс, не будут использовать его. Если авиакомпания продавала 160 билетов на самолет, в котором лишь 155 мест, чему будет равна вероятность того, что место будет доступно для любого пассажира, имеющего заказ и планирующего улететь?
7.4. Задания для самостоятельной работы |
63 |
6.Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.
7.Сколько опытов необходимо произвести, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0,45, не более чем на 0,1.
7.4Задания для самостоятельной работы
1.Из всех изюминок 15 % - без косточек. Найти вероятность того, что среди 170 изюминок без косточек окажутся:
а) 20 изюминок; б) от 12 до 32 изюминок; в) какое количество изюминок без косточек окажется среди 170 выбранных
наугад с наибольшей вероятностью?
2.Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,01. Какова вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет на два билета; хотя бы на один билет?
3.Телефонная станция получает в среднем 15 вызовов в минуту. Какова вероятность того, что за 4 сек. она получит ровно 2 вызов а?
4.Вероятность того, что деталь нестандартна, равна = 0, 1. Найдите вероятность того, что среди случайно отобранных 100 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклоняется от вероятности 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,02.
5*. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два различных входа. Около каждого из входов есть свой гардероб. Зрители выбирают входы с равными вероятностями. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Рассмотреть два случая:
а) зрители приходят по одиночке; б) зрители приходят парами.
6*. В поселке 2550 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?
Занятие |
|
8 |
Дискретные случайные
величины
8.1Основные факты и определения
Определение 8.1. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Всякая действительная функция = ( ) на такая, что для каждого действительного { : ( ) < } F, называется случайной величиной.
Определение 8.2. Функция ( ) = P { : ( ) < } называется функцией распределения случайной величины ( ).
Основные свойства функции распределения ( ):
1.Если < , то ( ) ≤ ( ), т.е. ( ) — неубывающая функция.
2.а) lim ( ) = 0; б) lim ( ) = 1.
→−∞ →+∞
3. ( ) непрерывна слева, т.е. lim ( ) = ( 0).
→ 0−0
4. Если < , то { : ≤ ( ) < } = ( ) − ( ).
Определение 8.3. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Случайная величина ( ) называется дискретной случайной величиной, если она принимает конечное или счетное число значений.
Если ( ) — дискретная случайная величина на вероятностном пространстве ( , F, P), принимающая значения 1, 2, . . . , , . . ., то для каждого определена вероятность = { : ( ) = } , = 1, 2, . . .
64
8.1. Основные факты и определения |
65 |
Для дискретной случайной величины функцию распределения можно задать равенством
( ) = P { < } = |
:∑ |
. |
|
|
< |
Определение 8.4. Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями
= P { : ( ) = } , = 1, 2, . . .
называют законом распределения дискретной случайной величины.
Определение 8.5. Таблицу, в первой строке которой указаны в порядке возрастания значения случайной величины ( ): 1, 2, . . . , , . . ., а во второй строке соответствующие вероятности этих значений = P { : ( ) = },
= 1, 2, . . . , , . . .
|
|
1 |
2 |
. . . |
|
. . . |
|
|
1 |
2 |
. . . |
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
называют рядом распределения дискретной случайной величины.
Определение 8.6. Ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами ( , ) называют многоугольником распределения случайной величины (рис. 8.1).
Рис. 8.1 – Многоугольник распределения дискретной случайной величины
66 |
Занятие 8. Дискретные случайные величины |
Основные дискретные случайные величины
Определение 8.7. Случайная величина ( ) называется биномиальной,
если
= { : ( ) = } = (1 − ) − , = 0, , 0 ≤ ≤ 1.
Определение 8.8. Случайная величина ( ) называется геометрически распределенной, если
= { ( ) = } = (1 − ) , = 0, 1, . . . , 0 ≤ ≤ 1.
Определение 8.9. Говорят, что случайная величина ( ) имеет отрицательное биномиальное распределение, если для нее выполнены соотношения
|
{ |
|
= |
|
+ |
|
} = |
−1 |
|
(1 − |
|
) |
|
, |
|
, , . . . , |
0 ≤ |
|
≤ 1 |
. |
|
|
|
|
+ −1 |
|
|
|
|
|
= 0 1 |
|
|
Определение 8.10. Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром ( > 0), если она принимает значения 0, 1, . . ., причем
{ = } = − .!
8.2Примеры решения задач
Пример 8.1. Преподаватель задает студенту дополнительные вопросы не более 3. Вероятность того, что студент ответит на заданный вопрос — 0,9. Экзамен прекращается, как только студент не ответит на вопрос. Составить ряд, многоугольник и функцию распределения вероятностей числа дополнительных вопросов.
Решение. Пусть случайная величина равна числу дополнительных вопросов. Введем в рассмотрение случайные события 1 — студент ответил на первый дополнительный вопрос, 2 — студент ответил на второй дополнительный вопрос, 3 — студент ответил на третий дополнительный вопрос, 1 — студенту задан один дополнительный вопрос, 2 — студенту заданы два дополнительных вопроса, 3 — студенту заданы три дополнительных вопроса.
8.2. Примеры решения задач |
67 |
Тогда справедливы равенства
1 = 1;
2 = 1 2;
3 = 1 2 3 + 1 2 3 = 1 2.
P = 2 |
= P ( 2) = P ( |
1 |
) |
|
2 = P ( |
|
1) P |
|
|
2 |
|
= 0 9 (1 0 9) = 0 09 |
||||||||
P { = 1} |
= P ( 1) = P 1 |
|
|
|
|
= 1 |
− P ( ) = 1 |
− 0,9 = 0,1; |
|
|
||||||||||
P { = 3} = P ( 3) = P (( 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
))= P ( 1) P (( 2))= 0,92 = 0,81. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
− |
, |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
{ } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд распределения имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,09 |
|
0,81 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соединив точки с координатами (1; 0,1), (2; 0,09), (3; 0,81), многоугольник распределения
Для построения функции распределения составим вспомогательную табли-
цу
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,09 |
0,81 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0,1 |
0,19 |
1 |
|
|
|
|
|
68 |
Занятие 8. Дискретные случайные величины |
Элементы последней, третьей, строчки в таблице есть сумма элементов второй строки которые расположены над и левее соответствующего элемента третьей строки. Тогда функция распределения имеет вид
|
|
0, 1; |
1 < |
6 |
2; |
( ) = |
|
0; |
|
6 |
1; |
|
|
0, 19; |
2 < |
|
3; |
|
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
> 3. |
||
Ее график имеет вид
Пример 8.2. При обработке деталей на станке автомате вероятность выхода размеров обрабатываемых деталей за границы «допуска» постоянна и равна 0,2. Для контроля качества отбирают 2 детали. Составить ряд и функцию распределения ( ) случайной величины — числа нестандартных деталей.
Решение. Случайная величина может принимать значения: 0; 1; 2. Рас-
смотрим события 1 — первая деталь нестандартна, 2 — вторая деталь нестандартна.
( ) ( )
По условию задачи P ( 1) = P ( 2) = 0,2, P 1 = P 2 = 1 − 0,2 = 0,8.
8.2. Примеры решения задач |
69 |
Следовательно,
P = 1 |
|
= 0 ( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
) |
1 ( |
2 |
|
) |
1 2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|||||||||
P |
{ = 0} |
= P 1 2 |
= P 1 |
P 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= P ( |
|
1) P |
|
2 + P( |
|
|
|
P ( |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
{ |
|
} |
· |
|
|
1 |
|
2) =)0 2 0( 8 + 0)8 0 ( ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
,8 |
|
0,8 = 0,64 P + = P + P = |
||||||||||||||||||||||||||
P = 2 = P ( 1 2)( |
|
) |
1 ( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
· |
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
, |
|
, , |
|
,2 = 0,32; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
P ( ) P ( ) = 0,2 |
0,2 = 0,04. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
По сути мы получили биномиальное распределение с параметрами = 2 и
= 0,2. Построим, ряд распределения случайной величины
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0,64 |
0,32 |
0,02 |
|
|
|
|
|
Для построения функции распределения составим таблицу накопленных вероятностей
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0,64 |
0,32 |
0,04 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0,64 |
0,96 |
1 |
|
|
|
|
|
Тогда функция распределения имеет вид
|
|
0, 1; |
0 < |
6 |
1; |
( ) = |
|
0; |
|
6 |
0; |
|
|
0, 19; |
1 < |
|
2; |
|
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
> 2. |
||
|
|
|
|
|
|
Пример 8.3. Случайная величина имеет распределение вероятностей, представленное таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
0,2 |
|
0,3 |
0,4 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,15 |
|
0,1 |
4 |
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найти 4, P { < 0,4}, P {6 0,2 < 0,5}. |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
нашем случае |
|
1 + |
|
2 + |
|
3 |
+ |
|
4 |
+ |
|
5 |
= 1 или |
|
|
4 = 1 1 |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Так как для дискретной случайной величины |
|
= 1, то в |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
=1 |
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 − 0,2 − 0,15 − 0,1 − 0,3 = 0,35.