Пример 5.3. Сколько раз нужно бросить симметричную игральную кость, чтобы появление хотя бы одной шестерки имело вероятность большую 0,99?

Решение. Пусть искомое количество бросаний равно . Рассмотрим событие

={при бросаниях хотя бы один раз появилась шестерка}. Тогда противо-

положное ему событие ={при бросаниях ни разу не появилась шестерка}.

Решим показательное неравенство

(0,5) < 0,01;

ln(0,5) < ln(0,01);

> ln(0,01); ln(0,5)

> 6,644.

Таким образом, минимальное количество бросаний игральной кости для того, чтобы выполнить условие задачи должно быть равно 7.

Пример 5.4. Среди экзаменационных билетов «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше шансов взять «счастливый» билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым?

Решение. Для студента подошедшего первым эта вероятность равна . Обозначим через событие, состоящее в том, что второй студент взял «счастли-

вый» билет, 1 — первый студент взял «счастливый» билет, 2 — первый студент взял «несчастливый» билет. По формуле полной вероятности имеем

Таким образом, вероятность взять счастливый билет для обоих студентов одна и та же.

Пример 5.5. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй — 4 белых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую наугад перекладывают 2 шара. После чего из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность оказаться ему белым?

Решение I.

Так как нам не известно содержимое второй урны когда из нее извлекают шар, но согласно условию мы можем выдвинуть некоторые предположения о ее составе, то при решении будем использовать формулу полной вероятности. Гипотезы о переложенных шарах имеют вид:

1: оба шара белые;

2: один белый и один черный;

3: оба шара черные.

Обозначим через событие, состоящее в том, что из пополненной второй урны извлекли белый шар.

Тогда согласно формуле полной вероятности мы можем записать

P { } = P { 1} P { 1} + P { 2} P { 2} + P { 3} P { 3} .

Вычислим фигурирующие в последней формуле вероятности

Окончательно имеем

{ } = 155 · 126 + 158 · 125 + 152 · 124 = 1330.

Решение II.

В предыдущем решении при выдвижении гипотез, мы классифицировали шары по цвету. Сейчас поступим иначе — классифицируем шары по изначальному положению: «старый» шар, т.е. изначально принадлежал второй урне, «новый» шар, т.е. изначально принадлежал первой урне. Тогда можем выдвинуть гипотезы

1: извлекли «новый» шар;

2: извлекли «старый» шар; В этом случае формула полной вероятности примет вид

P { } = { 1} P { 1} + P { 2} P { 2} .

Вычислим искомую вероятность

P { } = 16 · 35 + 56 · 25 = 1330.

Как видим, ответы совпадают, что и не удивительно. Приведенные два различных решения одной и той же задачи, подчеркивают, что формулировка гипотез неоднозначна и полностью лежит на совести исследователя.

Пример 5.6. Некоторая деталь производится на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в раз превышает объем продукции второго завода. Доля брака на первом заводе 1, на втором — 2. Наугад взятая деталь

оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

Решение. Пусть 1 — событие, состоящее в том, что деталь изготовлена на первом заводе, 2 — соответственно на втором. Тогда P ( 1) = +1,

P ( 2) = +11 . Пусть событие состоит в том, что наугад взятая деталь оказалась бракованной. По условию задачи P ( / 1) = 1, P ( / 2) = 2. Применяя формулы Байеса, имеем:

Пример 5.7 (Пример Бернштейна). Три грани тетраэдра окрашены соответственно в красный, зеленый, голубой цвета, а на четвертую грань нанесены все три цвета. Пусть событие состоит в том, что при бросании тетраэдра на плоскость, выпала грань содержащая красный цвет, аналогично и — зеленый и голубой, соответственно. Являются эти три события попарно независимыми? Независимыми в совокупности?

Решение. Вычислим соответствующие вероятности.

Следовательно, события К, Г, З попарно независимы. В тоже время

т.е. события не являются независимыми в совокупности.

5.3Задания для аудиторной работы

1.Выясните, как связаны между собой свойства независимости и несовместности двух событий.

2.Рассмотрим семью с двумя детьми. Какова вероятность того, что в семье оба ребенка — девочки, если: а) старший ребенок — девочка; б) по крайней мере одна из детей — девочка?

3.Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появится красный шар, то объявляется ничья. Пусть 1 ={выигрывает игрок, начавший игру}, 2 ={выигрывает второй игрок}, ={игра закончилась в ничью}. Найти P { 1}, P { 2}, P { }.

4.Строительная компания обращается в несколько банков с заявлением о предоставлении кредита, причем вероятность положительного решения равна 0,6. Каким должно быть количество этих банков, чтобы вероятность того, что хотя бы один банк примет положительный решение о выдаче кредита,была не меньше 0,9?

5.Электрическая цепь между точками C и D составлена по схеме изображенной на рисунке.

Различные элементы цепи работают независимо друг от друга, вероятности безотказной работы элементов за время T равны: 1 = 0,4, 2 = 0,5, 3 = 0,6,

4 = 0,7, 5 = 0,8, 6 = 0,9.

Определить вероятность безотказной работы цепи за время T.

6.Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Найти вероятность того, что

а) выбранный шар будет белым.

б) выбрана 4-я или 5-я урна, если известно, что извлеченный шар белый.

7.При переливании крови надо учитывать группы донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% — вторую, 20,9% — третью и 7,9% — четвертую группы крови.

а) Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

б) Найти вероятность того, что переливание можно осуществить, если имеются два донора, три донора.

8. Бросаются две игральные кости. Рассмотрим три события: A — на первой кости выпало нечетное число очков, B — на второй кости выпало нечетное число очков, C — сумма очков на обеих костях нечетна. Выяснить, зависимы или нет события A, B и C

9*. A говорит правду в 3 случаях из 4, а B — в 4 случаях из 5. Из урны, в которой было 9 разноцветных шаров, в том числе один белый, вынули один шар. A и B посмотрели на него и оба сказали, что шар — белый. Найти вероятность того, что они сказали правду

10*. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: AAAA, BBBB, CCCC, причем априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно 3/10, 2/5 и 3/10. Известно, что под действием шумов вероятность правильного приема каждой из переданных букв равна 3/5, а вероятности перевода каждой буквы в любую другую одинаковы и равны 1/5. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность AAAA, если на приемном устройстве получена последовательность ABCA.

11. Привести примеры, показывающие, что, вообще говоря, равенства

( ) ( )

( / ) + = 1, ( / ) + = 1

неверны.

12. Доказать, что из условия

( )

P ( / ) = P /

следует независимость событий и .

13. Доказать неравенство Белла: для произвольных , , F выполнено неравенство

{ }

P { } ≤ P { } + P

6.В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течении месяца равна 0,90, и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.

7.Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем

в5 случаях из 10, а второй в 8 случаях их 10. Перед выстрелом они бросают правильную монету для определения очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стреляет. Он видит, что цель поражена. Какова вероятность того, что стрелял:

а) первый стрелок; б) второй стрелок?

8*Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одну за другой n торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью и, при попадании, — с одинаковой вероятностью в любой из k отсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его затоплению водой. Корабль идет ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. С какой вероятностью корабль будет затоплен?

9*. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1 − . Вероятность принять здорового человека за больного равна . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна .

а) Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

б) Найти условную вероятность того, что человек болен, если он был признан здоровым при обследовании.

10*. Даны три попарно независимые равновероятные события, которые не могут произойти одновременно. Определить максимально возможное значение вероятности суммы этих событий. Изменится ли ответ, если снять с событий условие равной вероятности?

11*. Пусть событие таково, что не зависит от самого себя, т.е. и

независимы. Показать, что тогда { } равно 0 или 1.

12*. Пусть событие таково, что { } равно 0 или 1. Показать, что и

любое событие независимы.

называется полиномиальным (мультиномиальным) распределением вероятностей.

6.2Примеры решения задач

Пример 6.1. Из колоды карт в 36 листов восемь раз с возвращением извлекают по одной карте. а) Найти вероятность, что ровно три раза удастся вынуть туза. б) Вычислить наивероятнейшее число тузов, которые можно извлечь? в) Найти вероятность того, что будут извлечены ровно тузов.

Решение. Рассмотрим случайное событие ={извлечен туз}, его вероятность равна P( ) = 4|36 = 1/9.

а) Применим формулу для биномиальных вероятностей, в которой = 8,

= 1/9, = 3.

б) Вычислить наивероятнейшее число тузов, т.к. ( + 1) = 1/9(8 + 1) = 1 — целое число, то таких значений два:

1 = ( + 1) = 1, 2 = 1 − 1 = 0.

б) Применим формулу для биномиальных вероятностей

Пример 6.2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. а) Какова вероятность того, что из десяти случайно взятых в этом месяце дней, больше двух окажутся дождливыми? б) Найти наивероятнейшее число дождливых дней из восьми.

Решение.

а) Вероятность события ={день дождливый} равна P( ) = 12|30 = 2/5. Пусть событие ={в сентябре окажется больше двух дождливых дней}. Иско-