Следовательно вероятность события С равна:

Пример 4.3. Коэффициенты приведенного квадратного уравнения

2 + + = 0,

и наугад выбираются из отрезка [0; 2]. Найти вероятность того, что уравнение имеет действительные корни.

Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента имеет

вид

= {( , ) : 0 6 , 6 2} .

Геометрически это квадрат со стороной равной 2. И,соответственно, его мера равна ( ) = 22 = 4.

В свою очередь множество элементарных исходов благоприятствующих событию — уравнение имеет действительные корни представимо в виде

= {( , ) : 0 6 , 6 2; = 2 − 4 > 0}.

Вычислим его меру

Окончательно, согласно формуле геометрической вероятности, получим

P ( ) = ( ) = 2/3 = 1.( ) 4 6

Пример 4.4 (Парадокс Бертрана (Josef Bertrand, ”Calcul des Probabilities”, 1888 )). На окружности наугад выбираем произвольную хорду. Какова вероятность того, что эта хорда длиннее от стороны правильного треугольника вписанного в этот круг?

Решение. 1. В круге выбираем произвольную точку и строим хорду так,

чтобы была ее серединой.

Хорда будет длиннее стороны вписанного треугольника, если точка будет лежать внутри круга, вписанного в этот треугольник. Таким образом ( ) =

2, ( ) = 2. Искомая вероятность равна

2. В силу симметрии зафиксируем один конец хорды в точке .

Хорда будет длиннее стороны треугольника, если она лежит внутри угла .

( ) = , ( ) = /3,

P ( ) = ( ) = /3 = 1( ) 3

3. Выберем точку на радиусе круга и проведем через нее хорду, которая будет перпендикулярна этому радиусу.

Построенная хорда будет больше стороны вписанного треугольника, если точка

лежит на отрезке . ( ) = | | = , ( ) = | | = ,

P ( ) = ( ) = = 1( ) 2

. Почему ответы различны? В чем ошибка? Ее нет! На самом деле решены три различные задачи. Сформулируйте математические постановки этих задачи самостоятельно.

4.3Задания для аудиторной работы

1.На отрезок [0; 1] случайным образом бросается точка. Найти вероятности следующих событий:

а) длина меньшей части меньше ; б) длина большей части меньше ;

в) длины обеих частей одновременно меньше .

2. Точку на удачу бросают в квадрат со стороной 1. Найти вероятности того, что:

а) расстояние от точки до фиксированной стороны квадрата не превосходит 0,4;

б) расстояние от точки до ближайшей стороны не превосходит 0,4; в) расстояние от точки до центра квадрата не превосходит 0,4;

г)расстояние от точки до ближайшей вершины квадрата не превосходит

0,4.

3.Стержень длиной случайным образом ломают на три части. Какова вероятность, что из получившихся частей можно составить треугольник?

4.Какова вероятность, что из трех отрезков длины, которых выбраны наудачу из отрезка [0; ], можно составить треугольник?

5.Найти вероятность того, что сумма двух наугад выбранных чисел из отрезка [0, 1] не больше 1, а их произведение не больше 163 .

6.В квадрат с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0) наудачу брошена точка. Пусть ( ; ) ее координаты. Для произвольного 0 < < 1 найти

7.Время подхода к указанному месту Васи не зависит от момента подхода Тани и равновозможно в интервале времени от 0 до . Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше , 0 < 6 .

8.В интервале времени [0; ] в случайный момент появляется сигнал длительностью . Приемник включается в случайный момент времени [0; ]

на время . Предположив, что точка ( ; ) равномерно расположена в квадрате

[0; ] × [0; ], найти вероятность обнаружения сигнала.

9*. На паркет составленный из правильных –угольников со стороной бросается монета радиуса . Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного из –угольников паркета для:

а) = 3; б) = 4; в) = 6.

10*. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что они образуют вершины

а) какого-нибудь треугольника; б) правильного треугольника; в) прямоугольного треугольника.

4.4Задания для самостоятельной работы

1.Точку на удачу бросают в прямоугольник со сторонами 1 и 2. Найти вероятности того, что:

а) расстояние от точки до ближайшей стороны прямоугольника не пре-

восходит 0, 3;

б) расстояние от до любой стороны прямоугольника не превосходит 0, 3; в) расстояние от до диагоналей прямоугольника не превосходит 0, 3.

2.Стержень длиной случайным образом ломают на три части. Какова вероятность, что длина меньшей части не превышает /4?

3.Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения 2 + 2 + = 0

а) вещественны; б) положительны; г) одинакового знака,

если значения коэффициентов и наугад выбираются из отрезка [0; 2].

4. На окружности радиуса наудачу взяты три точки , , . Какова

вероятность того, что треугольник

д) равнобедренный?

5. Имеется две параллельные линии связи длинной каждая, расстояние

между ними < . На каждой линии есть по разрыву в неизвестном месте. Найти вероятность того, что расстояние между точками разрыва не больше

другое курсирует без остановок поперек этого пролива. Скорости движения судов соответственно равны 1 и 2. Второе судно подает звуковые сигналы, которые слышны на расстоянии < . Определить вероятность того, что на первом судне услышат сигналы, если пересечение курсов судов равновозможно в любом месте пролива.

7*. Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами 1, 2. Момент прихода пассажира определяет на отрезках [0; 1], [0; 2] числа и , равные временам, оставшимся до прихода трамвая соответствующего маршрута. Предполагая, что точка ( , ) равномерно распределена на = {( , ) : 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2}, найти вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать не дольше

(0 < < min ( 1, 2)).

8*. На плоскость, разлинованную параллельными прямыми (расстояние между соседними прямыми равно 2 ), брошена полуокружность радиуса < ; точка ( , ) ( — расстояние от центра окружности до ближайшей прямой, —

угол между этой прямой и диаметром, соединяющим концы дуги) равномерно распределена в прямоугольнике [0, ] × [− /2, /2]. Найти вероятность того, что прямая будет иметь ( = 1, 2, 3) пересечений с полуокружностью.

9*. На отрезок длинной одну за другой бросают три точки. Найти вероятность того, что третья точка упадет между первыми двумя?

Теорема 5.3 (Формулы Байеса). Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. События 1, . . . , , F, = 1, образуют полную группу событий, причем P ( ) > 0, для каждого = 1, . Тогда для любого случайного события F, такого, что P ( ) > 0 выполнены равенства

P ( ) P ( )

P ( / ) = ∑ =1 P ( ) ( / ).

Определение 5.3. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Случайные события F и F, называются независимыми, если выполнено равенство

( )

= ( ) ( ) .

Теорема 5.4 (Критерий независимости). Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Случайные события F и F, P ( ) > 0, являются

независимыми тогда и только тогда, когда P ( / ) = P ( ), т.е. появление события не изменяет вероятности события .

Теорема 5.5. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Если случайные события F и F независимы, то события и , и , итак же независимы.

Теорема 5.6. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Если случайные события F и 1 F независимы, и 2 F независимы, 1 и

2 дизъюнктивны, то события и 1 2 так же независимы.

Определение 5.4. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Случайные события F, = 1, , называются попарно независимыми, если для всех , , ( ̸= ) выполнены равенства

( )

P = P ( ) P ( ) .

Определение 5.5. Пусть ( , F, P) — вероятностное пространство. Случайные события F, = 1, , называются независимыми в совокупности, если для любого (1 ≤ ≤ ) и для любого набора индексов 1, . . . , справедливо

5.2Примеры решения задач

Пример 5.1. В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Из нее один за другим без возвращения извлекают два шара. Рассмотрим события ={первый шар черный} ={второй шар черный} ={хотя бы один шар черный}. Найти

. Тогда согласно определению условной вероятности, искомая вероятность равна

б) Вероятность события равна

P ( ) = 106 = 35

.

Следовательно,

в) Событие = {оба шара белые} является противоположным событию . Вычислим его вероятность

что согласуется с интуитивным представлением: если первый шар черный, то обязательно один из двух извлеченных шаров черный.

Пример 5.2. Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень, поражая я ее независимо друг от друга с вероятностями 0,5; 0,6; 0,7.

а) Найти вероятность того, что в мишень попали ровно два стрелка; б) Мишень поражена два раза, какова вероятность того, что второй стрелок

попал в цель?

Решение.

а) Введем в рассмотрение события 1=первый игрок попал в цель,

2=второй игрок попал в цель, 3=третий игрок попал в цель, =В цель попали ровно два стрелка. Тогда событие можно выразить через 1, 2 и 3

следующим образом

= 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3.

Так как события 1 2 3, 1 2 3 и 1 2 3 попарно несовместны, а множители в каждом слагаемом независимы, то

=0,5 · 0,6 · 0,3 + 0,5 · 0,4 · 0,7 + 0,5 · 0,6 · 0,7 = =0,09 + 0,14 + 0,21 = 0,44.