Будет ли это начальное решение оптимальным? НЕТ. поскольку переменные х1
и х2 здесь равны нулю, а возрастание этих
переменных даже на единицу приводит к увеличению значения целевой функции
z = 5x1 + 4x2
на 5 (при увеличении x1) или на 4 (при увеличении х2).
Поскольку коэффициент при переменной x1,
в формуле целевой функции больше, чем коэффициент при х2, переменную х1 следует
ввести в число базисных (в этом случае она
станет вводимой). |
22 |
|
Если обратиться к приведенной выше таблице, то вводимая переменная определяется среди множества небазисных как переменная, имеющая наибольший отрицательный
коэффициент в z-строке (напоминаю, решается задача на максимум).
Если так случится, что все коэффициенты в z-строке будут неотрицательными, то дальнейшее увеличение значения целевой функции будет невозможно. Это будет означать, что достигнуто оптимальное решение.
23
Чтобы определить исключаемую переменную непосредственно из таблицы, надо вычислить точки пересечения всех функций ограничений с положительным направлением оси х1
(повторяю, что переменная x1 уже определена
как вводимая переменная). Координаты этих точек пересечения можно вычислить как отношения правых частей равенств (значение в столбце "Решение") к коэффициентам при переменной x1, в этих равенствах, как показано
в следующей таблице.
24
Базис |
Коэффициенты |
Решение |
Отношение (точка пересечения) |
|
при x1 |
|
|
S1 |
6 |
24 |
X1 = 24/6 = 4 (минимум) |
S2 |
1 |
6 |
X1 = 6/1 =6 |
S3 |
-1 |
1 |
X1 = 1/(-1) = -1 (не подходит) |
S4 |
0 |
2 |
X1 = 2/0 = ∞ (не подходит) |
25
На рисунке видно, что неотрицательные отношения порождают точки пересечения на положительной полуоси х1.
Отношения (пересечения), соответствующие переменным s3 и s4,
исключаются из рассмотрения, поскольку для них точка пересечения лежит или на отрицательной полуоси, или на бесконечности.
26
Минимальное неотрицательное отношение соответствует базисной переменной s1, тем
самым определяя эту переменную как исключаемую (т.е. на следующей итерации ее значение будет равно нулю).
Значение вводимой переменной х1 в новом
решении также равно минимальному неотрицательному отношению, а именно x1 = 4
(сравните с точкой В на рисунке выше). Значение целевой функции при этом значении х1 возрастет до 20 (= 5∙4).
27
28
Замена исключаемой переменной s1 на вводимую переменную x1,
приводит к новым множествам базисных и небазисных переменных и новому решению в точке В.
Небазисные (нулевые) переменные: (s1, х2). Базисные переменные: (x1, s2, s3, s4).
Теперь необходимо выполнить преобразования в последней таблице так, чтобы в столбцах "Базис" и "Решения" получить новое решение, соответствующее точке В. Вычисление нового базисного решения основывается на методе исключения переменных (методе Гаусса-Жордана), который описан в разделе А.2.7. Эти вычисления громоздкие и объемные, что делает компьютер незаменимым средством для решения задач линейного программирования. Вы должны освоить ручной способ вычислений хотя бы для того, чтобы понять, как работает симплекс-метод. После этого, вы, вероятно, никогда не будете
выполнять вычисления вручную. |
29 |
Замена исключаемой переменной s1 на вводимую переменную x1, приводит к новым
множествам базисных и небазисных переменных и новому решению в точке В.
Небазисные (нулевые) переменные: (s1;х2). Базисные переменные: (x1;s2;s3;s4).
Теперь необходимо выполнить преобразования в последней таблице так, чтобы в столбцах "Базис" и "Решения" получить новое решение, соответствующее точке В.
30
В следующей таблице, которая пока совпадает с начальной таблицей ЗЛП, определим ведущий столбец, ассоциируемый с вводимой переменной, и ведущую строку, ассоциируемую с исключаемой переменной.
Элемент, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, назовем
ведущим.
31
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
Бази |
Z |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
Решение |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1 |
-5 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
← S1 |
0 |
6 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
24 |
S2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
6 |
S3 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
S4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
32