9. Планирования экспериментов. Факторный анализ, полный и дробный факторный эксперимент и математическая модель.

Имитационный эксперимент, содержание которого определяется:

- предварительно-проведенным аналитическим исследованием (являющимся составной частью вычислительного эксперимента),

- результаты которого достоверны и математически обоснованы, назовем направленным вычислительным экспериментом.

Приведенное выше определение отражает две части и основные задачи исследователя при организации и проведении вычислительного эксперимента на имитационной модели. Эти задачи включают:

• Стратегическое планирование вычислительного эксперимента;

• Тактическое планирование ВЭ

• Выбор (математического) метода анализа (обработки) результатов вычислительного эксперимента.

Стратегическое планирование вычислительного эксперимента – это организация вычислительного эксперимента, выбор метода сбора информации, который дает требуемый (для данной цели моделирования, для принятия решения) ее объем при наименьших затратах. Основная цель стратегического планирования – получить желаемую информацию для изучения моделируемой системы при минимальных затратах на экспериментирование, при наименьшем числе прогонов.

Тактическое планирование заключается в следующем. Перед началом исследования необходимо спланировать эксперимент – разработать план проведения эксперимента на модели. Цель этого планирования двоякая:

1) Планирование эксперимента позволяет выбрать конкретный метод сбора необходимой для получения обоснованных выводов информации, т.е. план задает схему исследования. Таким образом, план эксперимента служит структурной основой процесса исследования.

2) Достигнуть цели исследования эффективным образом, т.е. уменьшить число экспериментальных проверок (прогонов).

Выбор метода анализа результатов исследования зависит в основном от цели и характера исследования. На практике, выбор аналитического метода анализа результатов исследования (вторичной математической модели) определяется целью исследования и методом статистического анализа его результатов, необходимым для достижения этой цели.

Итак, решение основных задач рассмотренного этапа имитационного моделирования предполагает составление такого плана компьютерного эксперимента, позволяющего достигать поставленные цели эксперимента эффективным образом, с учетом ограничений на ресурсы, а также выбрать математический метод анализа (истолкования) результатов моделирования.

Факторный анализ, полный и дробный факторный эксперимент и математическая модель.

Подразумевает наличие двух и более факторов, влияние которых на отклик должен исследовать экспериментатор. Возможны следующие методы исследования:

1 Классический метод “один фактор в каждый момент времени”.

состоит в фиксации всех факторов, кроме одного, на некоторых уровнях и вариации уровней этого фактора. При такой схеме факторы изменяются и исследуются поочередно. Известно, что эксперимент с одним фактором редко обладает достаточной информативностью, если он насчитывает в себе менее 8 выборочных точек на каждом уровне.

2 Симметричный полный факторный эксперимент.

Факторным экспериментом называется такой эксперимент, в котором все уровни данного фактора комбинируются со всеми уровнями всех других факторов. Под “симметричностью” понимается одинаковое количество уровней для всех факторов.

Основные достоинства факторного анализа:

• простота применения и интерпретации;

• максимальная эффективность метода исследования;

• если имеют место взаимодействия между факторами – то их можно правильно идентифицировать и интерпретировать эти взаимодействия;

• результаты справедливы, как правило, в более широком диапазоне условий.

Полный факторный эксперимент и его математическая модель.

Выход (отклик) имитационной модели системы является временным рядом.

Пусть, выход содержит только одну выходную переменную. Для множественных выходов рассматриваемая процедура должна быть применена к каждой переменной отдельно.

Чтобы сравнивать различные варианты системы, целый временной ряд характеризуется посредством одной или нескольких величин (среднее, стандартное отклонение и т.д.).

Неполный факторный анализ.

В полном факторном эксперименте разность между числом опытов и числом коэффициентов велика. Надо уменьшать число опытов.

Всякий раз, когда мы используем выборку меньшую, чем этого требует полный факторный план, мы платим за это риском смешивания эффектом. Под смешиванием мы понимаем то, что статистик, измеряя один эффект, в то же время измеряет, возможно, и некоторый другой эффект. Например, если главный эффект смешивается с взаимодействиями более высокого порядка, то эти два эффекта уже невозможно отделить друг от друга.

Неполный факторный анализ используется на начальной стадии исследования в случае наличия больше 4 факторов, когда необходимо выявить наиболее существенные переменные. Если число переменных меньше 4 – ставят полный факторный эксперимент.

10. Планирование экспериментов. Основные классы планов, применяемые в вычислительном эксперименте(планы многофакторного эксперимента, планы отсеивающего эксперимента, планы для изучения поверхности отклика). Методология анализа поверхности отклика. Техника расчета крутого восхождения.

Имитационный эксперимент, содержание которого определяется:

- предварительно-проведенным аналитическим исследованием (являющимся составной частью вычислительного эксперимента),

- результаты которого достоверны и математически обоснованы, назовем направленным вычислительным экспериментом.

Приведенное выше определение отражает две части и основные задачи исследователя при организации и проведении вычислительного эксперимента на имитационной модели. Эти задачи включают:

• Стратегическое планирование вычислительного эксперимента;

• Тактическое планирование ВЭ

• Выбор (математического) метода анализа (обработки) результатов вычислительного эксперимента.

Стратегическое планирование вычислительного эксперимента – это организация вычислительного эксперимента, выбор метода сбора информации, который дает требуемый (для данной цели моделирования, для принятия решения) ее объем при наименьших затратах. Основная цель стратегического планирования – получить желаемую информацию для изучения моделируемой системы при минимальных затратах на экспериментирование, при наименьшем числе прогонов.

Тактическое планирование заключается в следующем. Перед началом исследования необходимо спланировать эксперимент – разработать план проведения эксперимента на модели. Цель этого планирования двоякая:

1) Планирование эксперимента позволяет выбрать конкретный метод сбора необходимой для получения обоснованных выводов информации, т.е. план задает схему исследования. Таким образом, план эксперимента служит структурной основой процесса исследования.

2) Достигнуть цели исследования эффективным образом, т.е. уменьшить число экспериментальных проверок (прогонов).

Выбор метода анализа результатов исследования зависит в основном от цели и характера исследования. На практике, выбор аналитического метода анализа результатов исследования (вторичной математической модели) определяется целью исследования и методом статистического анализа его результатов, необходимым для достижения этой цели.

Итак, решение основных задач рассмотренного этапа имитационного моделирования предполагает составление такого плана компьютерного эксперимента, позволяющего достигать поставленные цели эксперимента эффективным образом, с учетом ограничений на ресурсы, а также выбрать математический метод анализа (истолкования) результатов моделирования.

Основные классы планов, применяемые в вычислительном эксперименте.

По методу анализа и виду математической модели различают:

o планы дисперсионного анализа (однофакторный, многофакторный);

o планы регрессионного анализа;

o планы ковариационного анализа.

Планы многофакторного анализа:

o двухуровневые,

o многоуровневые;

o симметричные,

o несимметричные.

В практике машинного эксперимента полезны следующие виды планов:

1. Планы многофакторного анализа:

Планы типа 2k-p. Все k факторов имеют 2 уровня, используется часть всех комбинаций (дробная реплика) – существует возможность оценить главные эффекты факторов и взаимодействия низкого порядка.

Определяют следующие типы планов:

• ни один главный эффект не смешан ни с каким другим главным эффектом, но главные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, которые смешаны друг с другом.

• ни один главный эффект не смешан с другим главным эффектом или взаимодействием двух факторов, но эти взаимодействия смешаны друг с другом.

• ни один главный эффект и ни одно взаимодействие 2-х факторов не смешаны с другими главными эффектами или двухфакторными взаимодействиями, но эти взаимодействия смешаны с взаимодействиями трех факторов.

В общем случае разрешающая способность плана равна наименьшему числу символов в коде определяющего контраста.

2. Планы отсеивающего эксперимента:

Если k велико, число комбинаций все-таки остается большим даже при неполном факторном плане (2k-p), -тогда используются планы отсеивающих экспериментов. “Отсеивающий эксперимент” предполагает предварительное отсеивание, определение наиболее важных (существенных) факторов и используется на стадии предварительного исследования.

2.1. Случайные планы.

2.2. Сверхнасыщенные планы.

2.3. Планы группового отсеивания (последовательного отсеивания).

3. Планы для изучения поверхности отклика

В имитационном моделировании используется технология последовательного планирования.

На практике, например, может быть использована следующая схема проведения эксперимента: допустим, сначала реализуется план 2k-p используется малая часть эксперимента; если оказывается его недостаточно (часть эксперимента слишком мала для оценки всех эффектов) – необходимо уменьшить дробность плана, дополнить план эксперимента (“методом перевала”) – расширить эксперимент до полного факторного эксперимента -и т. д.

Аналогичные типы планов, основанные на последовательном планировании используются в методологии анализа поверхности отклика, которая состоит в отыскании оптимальной комбинации уровней k количественных факторов.

Рассмотрим некоторые планы, полезные для анализа поверхности отклика.

Дело в том, что в почти стационарной области желательно аппроксимировать поверхность отклика по меньшей мере полиномом второго порядка. Для этой цели проводится эксперимент квадратичного приближения. Ниже приведен общий вид квадратичного полинома (второго порядка) для случая двух независимых переменных

Методология анализа поверхности отклика. Техника расчета крутого восхождения.

Методология анализа поверхности отклика полезна для реализации 3 типа вычислительного эксперимента, связанного с отысканием оптимальных условий.

Во многих случаях целью моделирования является отыскание таких величин или уровней независимых переменных, при которых отклик или зависимая переменная достигает оптимальных (максимальных или минимальных) значений. Если зависимая и независимая переменные количественны и непрерывны, то для решения задачи поиска оптимума обычно используется методология поверхности отклика, которая состоит в отыскании оптимальной комбинации уровней k-количественных факторов.

Методология поверхности отклика обычно основана на исследовании поверхности отклика с помощью ряда небольших полных или неполных факторных экспериментов. В имитационном моделировании используется технология последовательного планирования. Такого рода последовательные планы используются в методологии анализа поверхности отклика, которая состоит в отыскании оптимальной комбинации уровней k количественных факторов, где реализуется пошаговая процедура движения к точке оптимума. Если известно точное математическое выражение функции отклика, то отыскание оптимальной точки можно сравнительно просто осуществить аналитическими методами. Так как обычно мы не знаем вид поверхности отклика, то необходимо использовать в качестве аппроксимации какую-либо гибкую, плавно изменяющуюся функцию. В качестве такой функции обычно используют полином

первого порядка или полином второго порядка, где коэффициенты этого полинома оцениваются с помощью эксперимента.

В этом случае наша задача состоит в том, чтобы

• как можно быстрее выйти в близкую к оптимуму область,

• а затем воспользоваться аналитическими методами локального представления этой функции в окрестности точки оптимума.

Предлагаемая концепция оптимизации условно включает 2 этапа:

1 этап оптимизации – крутое восхождение с целью скорейшего достижения области оптимума. Используется линейное планирование и реализуется пошаговая итерационная процедура движения в направлении градиента.

Однако область оптимума не может быть описана линейным приближением.

2 этап – описание области оптимума методами нелинейного планирования и исследование почти стационарной области.

Давайте подробнее рассмотрим эти 2 задачи.

Крутое восхождение по поверхности отклика.

Одним из традиционных методов поиска оптимума (максимума) является метод покоординатного подъема. Наиболее часто используется в МПО так называемый метод наискорейшего подъема – крутого восхождения. Основная идея метода состоит в построении линейной аппроксимации поверхности отклика в окрестности данной точки с помощью простого факторного эксперимента. По построенной линейной функции определяется направление наискорейшего подъема к точке оптимума – в направлении градиента функции отклика. По этому направлению делается небольшой шаг, затем повторяется процедура определения направления наискорейшего подъема и т.д.

Этот метод не позволяет определять длину шага (длина шага определяется экспериментатором, она не должна быть очень большой, чтобы не проскочить оптимум, и не должна быть очень маленькой – чтобы не проводить большое количество шагов), однако показывает направление движения.