6. Статистическое моделирование систем. Генераторы случайных чисел. Конгруэнтные процедуры генерации. Проверка качества последовательностей. Улучшение качества последовательностей.

Общая характеристика метода статистического моделирования

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе.

Сущность метода статистического моделирования. Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы.

Различаю две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач.

Характеристики качества генераторов. При статистическом моделировании системы с использованием программных генераторов псевдослучайных квазиравномерных последовательностей важными характеристиками качества генератора является длина периода Р и длина отрезка апериодичности L. Длина отрезка апериодичности L псевдослучайной последовательности {х_i}, заданной уравнением

,

есть наибольшее целое число, такое, что при 0j<iL событие Р{х_i=x_j} не имеет места. Это означает, что все числа х_i, в пределах отрезка апериодичности не повторяются.

Очевидно, что использование при моделировании систем последовательности чисел {х_i}, длина которой больше отрезка апериодичности L, может привести к повторению испытаний в тех же условиях, что и раньше, т. е. увеличение числа реализации не дает новых статистических результатов.

Конгруэнтные процедуры генерации. Широкое применение при моделировании систем на ЭВМ получили конгруэнтные процедуры генерации псевдослучайных последовательностей, представляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности. Два целых числа  и  конгруэнтны (сравнимы) по модулю т, где т — целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что -=km, т. е. если разность - делится на m и если числа  и  дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа т.

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, так как описываются в виде рекуррентного соотношения, когда функция x_i+1=Ф(х_i) имеет вид

где X_i, , , M – неотрицательные целые числа.

Если раскрыть данное рекуррентное соотношение, получим:

(1)

Если заданы начальное значение X₀, множитель  и аддитивная константа , то (1) однозначно определяет последовательность целых чисел {X_i}, составленную из остатков от деления на М членов последовательности Таким образом, для любогоi1 справедливо неравенство Х_i<М. По целым числам последовательности {X_i,} можно построить последовательность рациональных чисел из единичного интервала (0, 1).

Конгруэнтная процедура получения последовательностей псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел может быть реализована мультипликативным либо смешанным методом.

Проверка и улучшение качества последовательностей псевдослучайных чисел

Проверка равномерности последовательностей псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел x_i может быть выполнена по гистограмме с использованием косвенных признаков.

Проверка стохастичности последовательностей псевдослучайных чисел {х_i} наиболее часто проводится методами комбинаций и серий.

Проверка независимости элементов последовательности псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел проводится на основе вычисления корреляционного момента.

Случайные величины  и  называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. Таким образом, независимость элементов последовательности {х_i}, может быть проверена путем введения в рассмотрение последовательности {y_j}={х_i+}, где  — величина сдвига последовательностей.

Улучшение качества последовательностей. Основное применение в практике имитационного моделирования систем находят различные программные способы получения чисел. Поэтому рассмотрим возможные методы улучшения качества последовательностей псевдослучайных чисел. Одним из наиболее употребительных методов такого улучшения является употребление вместо формул вида x_i+1=Ф(х_i), представляющих собой рекуррентные формулы первого порядка, рекуррентных формул порядка r,т.е.

x_i+1=Ф(x_i, x_i-1,…,x_i-r+1).

где начальные значения x₀, x₁, …,x_r-1 заданы. В этом случае длина отрезка апериодичности L у такой последовательности при r>1 гораздо больше, чем при r=1. Однако при этом возрастает сложность метода, что приводит к увеличению затрат машинного времени на получение чисел и ограничивает возможности его применения на практике.

Для получения последовательности псевдослучайных чисел с большой длиной отрезка апериодичности L можно воспользоваться методом возмущений. В основу этого метода получения последовательности чисел положена формула вида

где функции Ф(и) и (u) различны.

В этом случае в основном используется формула х_i+1=Ф(x_i+1), и только когда i кратно М, последовательность «возмущается», т. е. реализуется переход к формуле x_i+1=(х_i). Целое число М называется периодом возмущения.

Все рассмотренные критерии проверки последовательностей псевдослучайных чисел являются необходимыми при постановке имитационных экспериментов на ЭВМ.

7. Выбор входных распределений вероятностей. Методы определения распределений. Непрерывные, дискретные и эмпирические распределения. Методы оценки для выборочной независимости. Методика выбора распределений.

• Использование системных входных данных за прошлое время

  • Может воспроизводиться только то, что уже происходило ранее

  • Моделирование в течение определенного времени

  • Проверка адекватности (метод коррелированной проверки)

• Подбор эмпирического распределения

  • Если данные непрерывны, может быть сгенерировано любое значение между точками минимума и максимума данных наблюдений

  • «искажения» при небольшом количестве данных

• Подбор теоретических распределений

  • Оптимальный способ представления набора данных

  • «сглаживание» данных

  • Генерирование значений вне области данных наблюдений

  • Простота изменения

  • Возможность генерации сколь угодно больших значений (-)

Непрерывные распределения

• Равномерное распределение.

• Экспоненциальное распределение.

• Гамма-распределение.

• Распределение Вейбулла.

• Нормальное распределение.

• Логнормальное распределение.

• Бета-распределение. Распределение Пирсона типа V

• Распределение Пирсона типа VI

• Лог-логистическое распределение

• Распределение Джонсона SB

• Распределение Джонсона SU

• Треугольное распределение

Дискретные распределения

• Распределение Бернулли

• Дискретное равномерное распределение

• Биномиальное распределение

• Геометрическое распределение

• Отрицательное биномиальное распределение

• Распределение Пуассона

• Эмпирическое распределение – данные наблюдений

Методы оценки выборочной независимости

• Важное допущение – наблюдаемые X1, X2, …, Xn, являются независимой (или случайной) выборкой из какого-либо распределения, лежащего в их основе

• Корреляционной график – графическое представление выборочной корреляции для j = 1, 2, …, l

  • Если наблюдения независимы = 0

• Диаграмма разброса наблюдений X1, X2, …, Xn – это график пар (Xi, Xi+1) для I = 1,2, …, n-1

  • Если величины независимы точки (Xi, Xi+1) будут случайно разбросаны

Выбор распределений

• Гипотеза относительно семейства распределений

• Выбор распределения на основе предварительных сведений

• Эвристические методы

  • Итоговая статистика

  • Гистограммы

  • Сводные квантили и блоковые графики

• Сводная квантиль – краткая выборка, которая применяется для определения, является ли плотность распределения, лежащего в основе данных, симметричной или смешенной вправо или влево. Если распределение симметрично, то значения средних четырех средних точек должны быть приблизительно равны. Если распределение смещено вправо (влево), тогда четыре средние точки (по таблице сверху вниз) должны возрастать (убывать). Блоковый график – это графическое представление сводных квантилей

Оценка параметров

Оценочная функция – числовая функция данных

Оценки максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия неизвестного значения q, определяется как значение максимизирующее L(q)

• Для дискретных распределений

• Для непрерывных распределений

• Определение наиболее подходящего распределения

• Эвристические процедуры

  • Графики плотности поверх гистограмм и частотные сравнения

  • Графики различий

• Критерии согласия

  • Критерий «хи-квадрат»

  • Критерий Колмогорова –Смирнова