4.2. Применение принципа симметрии для расчета простейших полей

1. Поле точечного заряда в однородной среде

Рассмотрим точки на сферической поверхности радиуса г, в центре которой расположен точечный заряд q(рис. 4.1). Очевидно, что ни одна точка на рассматриваемой сферической поверхности не обладает никаким преимуществом перед любой другой точкой на этой же поверхности. Поэтому величины напряженности поля для каждой точки сферической поверхности и потенциала остаются одинаковыми. Вышеизложенное замечание и является принципом симметрии.

Рис. 4.1. К формулировке принципа симметрии

Согласно второму уравнению системы (4.1), можно записать , откудаи

. (4.8)

Выражение для потенциала с учетом (4.3) и (4.8) получится таким образом:

.

Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, получим, что постоянная интегрирования равна нулю. Поэтому

. (4.9)

Для разности потенциалов между произвольными точками а и bполучим

. (4.10)

Если окружающая заряд qсреда не является однородной, и границы раздела между веществами с различнымипредставляют собой сферические поверхности, центры которых находятся в точке расположения заряда, то симметрия сохраняется а следовательно, остаются справедливыми формулы (4.8)(4.10). В остальных случаях этими формулами пользоваться нельзя.

На рис. 4.2 показана картина поля положительного точечного заряда qв однородной среде.

Рис. 4.2. Поле точечного заряда

2. Поле заряженной оси

Эта задача обладает осевой симметрией. Поэтому цилиндрические поверхности, соосные с заряженной осью, являются эквипотенциальными и в каждой такой поверхности вектора поля одинаковы но величине и направлены по радиусу. Как и для всех задач, обладающих какой-либо симметрией, в данном случае удобно воспользоваться законом Гаусса в интегральной форме (второе уравнение системы (4.1)). Считая заряд на единицу длины оси равным , получим

,, (4.11)

. (4.12)

Приняв =0 приr=r₀, т. е. на поверхности цилиндра определенного радиусаr₀, будем иметь, а следовательно,

. (4.13)

3. Поле заряженного цилиндра

В силу симметрии заряды на поверхности цилиндра распределены равномерно. Поэтому любая точка на поверхности любого цилиндра, соосного с заданным, находится в равных условиях по сравнению с любой другой точкой. Следовательно, картина поля вне заряженного цилиндра совпадает с картиной поля заряженной оси. Для расчета этого поля можно пользоваться формулами (4.11) и (4.12) или (4.13).

4. Поле и емкость коаксиального кабеля

Рассмотрим кабель, у которого внешний диаметр жилы r, внутренний диаметр оболочкиR, диэлектрическая проницаемость диэлектрика, отделяющего жилу от оболочки,и заряд на единицу длины жилы. Рассматривая соосную с осевой линией кабеля цилиндрическую поверхность, расположенную между жилой и оболочкой (рис. 4.3), легко прийти к выводу, что потенциал ее поверхности, величина напряженности поля и электрическое смещение на ней не отличаются от соответствующих величин для заряженной оси. Следовательно, расчетными формулами для рассматриваемого случая являются (4.11), (4.12).

Рис. 4.3. К определению поля и емкости коаксиального кабеля

Принимая потенциал оболочки равным нулю, из (4.13) можно определить потенциал жилы и напряжение Uмежду жилой и оболочкой

;

Жила и оболочка кабеля, разделенные диэлектриком, образуют конденсатор, емкость которого на единицу длины равна С₀:

. (4.14)