2.3. Вопросы для самопроверки

1. Расскажите о распределении энергии в электромагнитном поле.

2. Изложите суть теоремы Умова-Пойтинга.

3. Какие из членов правой части Умова-Пойтинга всегда положительны?

Глава 3. Электродинамические потенциалы и классификация полей

3.1. Формальное введение магнитного векторного и электрического скалярного потенциалов

Обратимся к четвертому уравнению из (1.17)

или. (3.1)

Имея в виду тождественное равенство векторного анализа

divили.

можно ввести некоторый вектор, ротор от которого равен вектору магнитной индукции. Это не будет противоречить (3.1). Новый вектор называют магнитным векторным потенциалом .

или. (3.2)

Уравнение (3.2) можно считать определением магнитного векторного потенциала, который имеет размерность .

Интегрируя левую и правую части (3.2) по поверхности sи применяя теорему Стокса к правой части равенства, получим

или. (3.3)

Это выражение связывает магнитный поток, пронизывающий некоторую поверхность s, с циркуляцией магнитного векторного потенциала по контуру, ограничивающему эту поверхность.

Обратимся теперь ко второму уравнению из (1.17)

или, (3.4)

которое с учетом (3.2) можно переписать

,

откуда

. (3.5)

Имея в виду тождественное равенство векторного анализа

rotили,

можно ввести некоторую скалярную величину, градиент которой равен сумме векторов напряженности электрического поля и производной по времени от магнитного векторного потенциала. Это не будет противоречить (3.1) и (3.4). Введенную таким образом скалярную величину со знаком минус называют электрическим скалярным потенциалом 

или. (3.6)

Приведенная выше словесная формулировка и уравнение (3.6) могут служить определением электрического скалярного потенциала. Величина в (3.6) не изменится от добавления к потенциалу любой постоянной величины, то есть. Следовательно, равенство (3.6) определяет потенциал с точностью до постоянной величины. Аналогичный результат получим при интегрировании по некоторому пути левой и правой части уравнения (3.6).

Учитывая при этом, что , получим

. (3.7)

Как обычно постоянная интегрирования определяется из граничного условия, которое получают, приравняв потенциал любой удобной, с точки зрения расчетов, точки поля какому-либо числу.

Так же, как и скалярный потенциал, векторный магнитный потенциал оказывается тоже не полностью определенным. Поскольку вектор магнитной индукции получается из векторного потенциаладифференцированием, то прибавление кпостоянной величины не изменяет величину магнитной индукции, то есть магнитное поле остается прежним. Однако это еще не все. Не изменяя магнитного поля, к векторуможно добавить любой вектор, ротор которого равен нулю. Например, еслиrot= 0, то=rot=rot(+). Учитывая, что ротор любого градиента тождественно равен нулю, векторможно записать как градиент некоторого скалярного поля, то есть. Поэтому, если векторный потенциалопределяет магнитное поле, то и векторный потенциалопределяет то же самое магнитное поле.

Таким образом, разные функции иопределяют одно и то же магнитное поле, а следовательно, мы можем выбрать любую из них для описания этого заданного магнитного поля. Такая «свобода» в выборе векторасвязана с тем, что для определения векторного поля необходимо кроме ротора еще знать и его дивергенцию.

Чем же нужно руководствоваться при выборе уравнения для дивергенции магнитного векторного потенциала? Для выяснения этого вопроса заменим в первом уравнении (1.17) напряженность магнитного поля и электрическое смещениена векторный магнитный и электрический скалярный потенциалы. В результате получим

. (3.8)

Если выбрать^

, (3.9)

то тем самым полностью определяется векторное поле магнитного векторного потенциала. Уравнение (3.9) связывает магнитный векторный потенциал со скалярным электрическим потенциалом. С учетом (3.9) уравнение (3.8) приобретает «более красивый» вид

. (3.10)

Для частного случая, не изменяющихся во времени полей, последнее уравнение может быть переписано так

. (3.11)

Это уравнение называется уравнением Пуассона для векторного магнитного потенциале. По существу, (3.11) представляет три уравнения - для каждой из координатных составляющих.

Таким образом, совокупность уравнений

; (3.12)

является системой уравнений, при помощи которой мы вводим новое векторное поле .

Следует заметить, что могут быть введены и другие потенциалы (например, скалярный магнитный и электрический векторный).