1.4. Система уравнений Максвелла

В данном параграфе приведена полная система уравнений электродинамики - уравнений Максвелла.

Интегральная форма записи уравнений Максвелла:

1. ;

2. ; (1.16)

3. ;

4. .

Последнее уравнение является математической формулировкой физического утверждения об отсутствии истоков магнитного поля.

Дифференциальная форма записи уравнений Максвелла:

1. ;;

2. ;; (1.17)

3. ;;

4. ;.

Последние два уравнения получаются из уравнений три и четыре системы (1.16) после применения к ним теоремы Остроградского.

Системы уравнений, электромагнитного ноля (1.16) и (1.17) необходимо дополнить уравнениями связи между векторами:

;

. (1.18)

Для линейных сред, то есть при линейной зависимости между поляризацией и напряженностью электрического поля и между намагниченностью и напряженностью магнитного поля уравнения связи линейны

;

. (1.19)

В вышеприведенных уравнениях ₀=410^-7Г/м - магнитная постоянная;=8,85410^-12Ф/м - электрическая постоянная (с — скорость света);и- относительные электрическая и магнитная проницаемости вещества.

Третье уравнение (1.16), являющееся записью теоремы Гаусса в интегральной форме может быть записано еще и в виде

,

где _св- объемная плотность связанного заряда.

Эта запись отражает тот физический факт, что электрическое поле определяется как свободными, так и связанными зарядами. Если по теореме Остроградского от этой формы записи перейти к дифференциальной, то с использованием третьего уравнения (1.17) и первого уравнения из (1.18), легко получим

. (1.20)

Система уравнений Максвелла, которая является системой уравнений в частных производных, позволяет описать любое электромагнитное явление классической электродинамики. А решение этой системы, если оно получено, позволяет провести детальный анализ такого явления. Разнообразие же электромагнитных явлений в природе, а следовательно, и решений системы уравнений Максвелла, определяется разнообразием граничных условий, соответствующих тому или иному явлению. Определение граничных условий часто составляет существенную часть решаемой задачи.

1.5. Векторы электромагнитного поля на поверхности раздела двух сред (граничные условия) Постановка задачи.

В большинстве практических задач бывает необходимо определять те или иные векторы электромагнитного поля в материальной среде, параметры которой изменяются при переходе через какую-то поверхность. Поведение векторов на границе раздела двух сред (граничные условия) необходимо знать при решении задач электродинамики, подобно тому как было необходимо знать начальные условия при решении задач о переходных процессах и электрических цепях. Поэтому прежде чем решать какие-то конкретные задачи электродинамики, необходимо найти связь между векторами на границе раздела, то есть граничные, условия, которые удовлетворяли бы уравнениям Максвелла (1.17) для этого особого случая.

Задачу об определении граничных условия можно сформулировать следующим образом. Предполагается, что две среды с разными параметрами разделяет некоторая достаточно гладкая (не имеющая резких изломом) поверхность s. Будем считать, что в бесконечно малой окрестности некоторой точкиF, принадлежащей поверхностиs, известно электромагнитное поле в первой среде. Требуется найти электромагнитное поле в окрестности этой же точкиFво второй среде.

Решение поставленной задачи удобно вести, представив вектора электромагнитного поля в окрестности точки Fв виде суммы тангенциальных и нормальных составляющих (рис. 1.2). Здесь- единичный вектор, нормальный к поверхностиsв рассматриваемой точкеF;- единичный вектор, касательный к поверхностиsв точкеFи лежащий в плоскости векторови.

Рис. 1.2. Представление вектора А в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих

В дальнейшем граничные условия выводятся отдельно для тангенциальных и для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля.