8.4. Расчет сопротивлений при переменном токе

Метод расчета комплексных сопротивлений при переменном токе с учетом влияния поверхностного эффекта основан на определении потока вектора Пойнтинга, входящего внутрь проводника.

Действительно поток комплексного вектора Пойнтинга через полную поверхность проводника равен комплексной мощности в проводнике:

. (8.42)

В свою очередь потери и реактивная мощность связаны с параметрами схемы замещения проводника следующим образом:

R=P/I² ; (8.43)

X=Q/I². (8.44)

Таким образом, для исследуемого проводника задаемся произвольным значением тока I. Рассчитаем поле, создаваемое этим током, и определим распределение комплексного вектора Пойнтинга. Используя формулы (8.42) и (8.43) и (8.44), определим активноеRи реактивноеXсопротивления проводника на данной частоте.

Проиллюстрируем описанный метод расчета на примере определения сопротивления тонкой пластины. Зная и, вычисляем значение вектора Пойнтинга на поверхности:

.

Haбоковой поверхности пластины величина П₀постоянна. При вычислении интеграла в левой части выражения (8.42) можно ограничиться вычислением потока через боковые поверхности, так как на торцах векторперпендикулярен,aпотоком через узкие поверхности 2а можно пренебречь, так как 2a<<h. С учетом этого, а также постоянства П на боковой поверхности, получим:

.

Подставим в это выражение значение и величинуs_бп=2hℓ

.

Преобразуем полученную формулу, используя соотношения =и 2ha=s_сеч(площадь поперечного сечения)

.

Разделив на I²и, учитывая выражения (8.43) и (8.44), получим комплексное сопротивление пластины:

, (8.45)

где через обозначено сопротивление пластины по постоянному току.

В случае сильно выраженного поверхностного эффекта (z₀<<a) |а|>>1 иtha1. Подставив значениеtha=1в формулу (8.45), получим, которое после преобразований приводится к виду:

. (8.46)

Сопротивление переменному току получается таким, как бы ток идет только по тонкому слою, сечением s_эфф=2hz₀называемому эффективным сечением проводника, т. е. введенная ранее величинаz₀(глубина проникновения) определяет площадь эффективного сечения проводника при протекании переменного тока. По этой причине нет смысла делать толстые шины, т. к. металл не будет использоваться. Например, на частотеf=100 кГц для медной шины глубина проникновения будетz₀=0,25 мм и толщина шины не должна превышать 1 мм.

Совершенно аналогично, используя выражение для поверхностного эффекта в цилиндрическом проводе, определим сопротивление провода переменному току.

Значение вектора Пойнтинга на поверхности провода получим, подставив значения (8-30) и (8-31) при r=r₀в формулу;

. (8.47)

Комплексная мощность в проводе, согласно (8.42), будет

, (8.48)

а комплексное сопротивление

. (8.49)

С учетом того, что сопротивление провода постоянному току равно , выражение (8.49) можно привести к виду:

, (8.50)

здесь b_опиb_1n— значения модулей, а_опи_1n— аргументов функций Бесселя дляr=r₀.

Для больших частот в случае резко выраженного поверхностного эффекта можно воспользоваться формулами (8.40) и (8.41) при y=0:

. (8.51)

Проделав необходимые преобразования, получим

, (8.52)

или, обратившись к понятию глубины проникновения ,

, (8.53)

где s_эфф— эффективное сечение провода переменному току, т. е. получается, что ток занимает только часть провода.