7.9. Вопросы для самопроверки

1. Как сдвинуты между собой в пространстве и во времени векторы поля ив падающей плоской волне?

2. Приведите систему уравнений Максвелла в комплексной форме для среды с потерями, где нет свободных зарядов.

3. Дайте определение фазовой скорости. В каком случае фазовая скорость и скорость распространения волны совпадают?

4. Объясните, почему в воздушных линиях скорость распространения волны приближается к скорости света?

5. Почему по волноводам можно передавать энергию только с определенной частотой?

Глава 8. Переменные поля в проводящих средах

8.1. Основные уравнения. Плоская гармоническая волна

Рассмотрим переменные поля в проводящих средах в диапазоне частот, для которых в правой части первого уравнения Максвелла можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, т. е. считать. В проводящих средах, кроме того,= 0, так как благодаря большой подвижности заряженных частиц, происходит взаимная компенсация зарядов в любом элементарном объеме.

Система основных уравнений в этом случае может быть записана так:

(8.1)

Можно исключить из этой системы один из векторов поля или. Для того чтобы исключить вектор, достаточно вычислить ротор правой и левой части первого уравнения .

,

подставить в правую часть полученного выражения из второго уравнения значение , а левую часть преобразовать по известному правилу, имея в виду, чтоdiv=0. После указанных преобразований получим

. (8.2)

Исключая вектор , получим совершенно аналогичное уравнение для вектора:

. (8.3)

Электромагнитные поля, при анализе которых можно предположить, что , называются квазистационарными полями.

Уравнения, имеющие структуру (8.2) и (8.3) в математике называют однородными уравнениями теплопроводности, так как скалярные уравнения подобного типа описывают тепловые поля в однородных средах ( ;— температура,t— время, а — коэффициент температуро проводности).

Для случая плоской волны, у которой вектора поля илежат в плоскости ху, изменение векторов в пространстве будет лишь по координатеz. Доказать это можно аналогично тому, как подобное утверждение было доказано при анализе плоских волн в вакууме. Если волна линейно-поляризована, то соответствующим поворотом системы координат вокруг осиzможно добиться, чтобы векторимел только одну х-ую составляющую (Е_х=Е). Уравнение (8.3) в этом случае примет вид:

. (8.4)

Решим это уравнение для практически важного случая плоской моногармонической волны (Е=Е_х=Е_xmsinωt). В этом случае уравнение (8.4) можно записать в комплексной форме:

. (8.5)

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Если ввести обозначение ²=jω₀, то его характеристическое уравнение (р²-²=0) будет иметь корниp_1,2=±. Следовательно, решение уравнения (8.5) имеет вид:

, (8.6)

где А₁иА₂—постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, а— постоянная распространения.

Напряженность магнитного поля определим из второго уравнения Максвелла, записанного для плоской волны.

,

решая которое относительно Н_уполучим:

, (8.7)

или, введя обозначение =jω₀/,

.

Как видно, вектор имеет толькоy-ую составляющую.

По аналогии с представлением напряжения и тока в цепях с распределенными параметрами (длинных линиях) решения (8.6) и (8.7) можно переписать в виде суммы прямой и обратной волн:

(8.8)

Заметим, что отношение напряженностей электрического и магнитного поля для прямой и обратной волны равны между собой:

. (8.9)

Эта величина, имеющая, размерность сопротивления, называется волновым сопротивлением среды.

Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны, проникающей в проводник, который занимает все полупространство (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Распространение плоской гармонической волны в проводнике

Пусть волна распространяется в направлении перпендикулярном границе раздела (плоскости ху).

Очевидно, что в рассматриваемой задаче бесконечного полупространства отсутствует обратная волна (=0), а постояннаяА₁определяется из условия. Таким образом, комплексыЕиНпрямой волны имеют вид:

; (8.10)

, (8.11)

где .

Проанализируем получившиеся выражения, описывающие прямую волну. Распространение плоской волны в проводнике определяется постоянной распространения и волновым сопротивлением.

Раскроем значения этих величин и определим их зависимость от параметров среды и частоты

, (8.12)

то есть для волн в проводнике

. (8.13)

При выводе выражений (8.12) и (8.13) использовалось равенство:

.

Волновое сопротивление запишется как

. (8.14)

Следовательно, ина комплексной плоскости повернуты один относительно другого на угол 45° (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Расположение векторов прямой волны на комплексной плоскости

Напомним, что в пространстве эти векторы сдвинуты на 90° (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Расположение векторов прямой волны в пространстве

Для пояснения физического смысла решения перейдем от комплексных значений векторов (8.10, 8.11) к функциям времени:

; (8.15)

, (8.16)

где .

Выражения (8.15) и (8.16) определяют бегущую волну Е и Н, распространяющуюся в направлении возрастающих значений z, амплитуда которой убывает вследствие потерь энергии в проводнике.

Для определенного момента времени t₀эпюры распределенияEиHв зависимости отzполучаются в виде затухающих синусоид (рис. 8.4)

Рис. 8.4. Распределение ив направлении распространения волны для момента времениt₀+=0

Если наблюдать процесс в какой-либо точке пространства z_н, то получим:

Указанные функции для различных точек наблюдения представляют собой синусоиды с различными амплитудами и начальными фазами.

Исследуемое распространение плоской волны в проводнике вдоль оси zможно характеризовать фазовой скоростьюV_фи длиной волны, определяемых следующими формулами:

; (8.17)

. (8.18)

Следует заметить, что длина волны в проводящей среде значительно меньше, чем в диэлектрике.

Определим во сколько pаз изменится амплитуда векторов, если волна пройдет расстояние, равное длине волны:

,

т. е. на расстоянии волна затухает в 536 раз.

Затухание принято характеризовать глубиной проникновения. Под глубиной проникновения понимается расстояние z₀вдоль направления распространения волны, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз, т. е.

.

Откуда получаем

. (8.19)

Очевидно, что глубина проникновения тем меньше, чем выше проводимость материала и его магнитная проницаемость.

Глубина проникновения связана с длиной волны в проводнике соотношением =2z₀. Из сказанного следует, что при высоких частотах электромагнитное поле может занимать очень узкий слой у поверхности проводника, не проникая внутрь. Это явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны, носит название поверхностного эффекта.

Рассчитаем комплексную мощность, поглощаемую поверхностью проводника на единицу площади. Эта мощность численно равна величине комплексного вектора Пойнтинга на границе раздела. Для плоской волны вектор имеет только составляющую в направлении распространения волны по осиz. Величина векторана поверхности:

,

т. е. в этом случае удельная активная и реактивная мощности равны между собой.