7.3. Гармонические волны

Изучение гармонических волн представляет особый интерес, так как, во-первых, гармонические колебания довольно часто встречаются в практике, во-вторых, любые волны можно рассматривать как суперпозицию гармонических волн. Для среды с потерями в области пространства, где нет свободных зарядов (=0) уравнения Максвелла в комплексной форме записи имеют вид:

(7.12)

Подобно тому, как это было сделано в 7.1, эту систему можно привести к волновому уравнению. Например, исключив , получим

(7.13)

где

(7.14)

- комплексное волновое число.

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим случай плоских волн, распространяющихся параллельно оси z. Было показано, что для таких волн векторыине имеютz-ой составляющей.

Рассмотрим еще более частный случай линейно-поляризованной волны. Линейно-поляризованной волной называют такой тип колебаний, при котором вектор поля все время параллелен одной из координатных осей. В этом случае, при соответствующем повороте системы координат вокруг оси z, можно добиться того, чтобы векторимел только одну х-ую составляющую. При этом волновое уравнение (7.13) вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

. (7.15)

Общее решение этого уравнения

, (7.16)

где - корни характеристического уравнения (),и- комплексные постоянные интегрирования, которые можно определить из граничных условий.

Непосредственной подстановкой решения (7.15) во второе уравнение Максвелла, записанное в комплексной форме или на основании выводов, сделанных в предыдущем параграфе, получим выражение для вектора:

, (7.17)

где

(7.18)

- комплексное волновое сопротивление среды.

Отметим, что если вектор имеет только одну х-ую составляющую, то векторбудет иметь толькоy-ую составляющую.

В выражениях (7.16) и (7.17) первые слагаемые представляют собой комплексные изображения векторов прямой волны, т. е. волны, распространяющейся в направлении оси z, а вторые слагаемые представляют обратную волну. В этом легко убедиться, перейдя от комплексов к мгновенным значениям. Полагая, что, получим:

;

.

Множитель указывает на то, что в направлении распространения волны происходит затухание колебаний. Это объясняется тем, что в среде с потерями при распространении волны часть энергии, которую несет электромагнитная волна, переходит в тепло.

Для среды без потерь (,) волновое число и волновое сопротивление действительные числа. Следовательно,,и. Мгновенные значения для векторов прямой волны получим в такой форме:

,

.

Для обратной волны изменится знак перед волновым числом

_,

_.

Аргументом здесь является (t+z/V).

На рис. 7.2 представлены эпюры распределения напряженностей электрического и магнитного полей в зависимости от координаты zв фиксированный момент времениtдля прямой и обратной волны.

Рис. 7.2. Эпюры распределения векторов ив фиксированный момент времени: а - прямой и б - обратной волны

В силу того что - действительное число, векторы, представляющиеина комплексной плоскости, совпадают по направлению (рис. 7.3). При перемещении точки наблюдения по направлению осиzнаоба вектора поворачиваются на угол(по часовой стрелке в случае прямой волны, или против часовой стрелки в случае обратной волны).

Рис. 7.3. Изображения на комплексной плоскости векторов поля при z=0 иz=z

Вычислим мгновенное значение Пойнтинга

.

Верхний знак будет для обратной волны, нижний для обратной.

Видно, что , т. е. поток мощности все время идет в сторону распространения волны. Об этом свидетельствует также и то, что мнимая часть комплексного значения вектора Пойнтингаравна нулю.

Для вакуума =1 и=1, следовательно,

и, (7.19)

где с - скорость света.