7.2. Плоская волна

Частный случай волнового уравнения - одномерное скалярное волновое уравнение - встречалось ранее в курсе ТОЭ при изучении теории длинных линий. Для тока или напряжения в однородной линии без потерь структура уравнения имела вид

,

а его решение представлялось как сумма двух волн

,

одна из которых прямая распространяется в направлении осиz, а другая обратная- в противоположном направлении. Из бесконечного множества функций, описывающих волновое движение, выбирались те, которые удовлетворяли начальным и граничным условиям.

Решение пространственного волнового уравнения также представляет собой суперпозицию бесконечного множества пространственных волн. В каждом частном случае из этого множества решений необходимо выбрать те, которые удовлетворяют начальным и граничным условиям. Анализ решений начнем с наиболее простого случая.

Предположим, что векторный потенциал изменяется только по направлению осиz. Такая волна называется плоской электромагнитной волной. Волновое уравнение (7.3) в этом случае будет иметь вид:

. (7.7)

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функции иудовлетворяют этому уравнению. Функцииипредставляют собой прямую и обратную плоские электромагнитные волны. Видно, что характерной особенностью этих функций является то, что их аргументом является.

Векторное уравнение (7.7) можно представить как систему трех скалярных уравнений, каждое из которых записано для одной из составляющих вектора :

(7.8)

Докажем, что вектор лежит в плоскости, нормальной к направлению распространения волны, т. е..

По начальному предположению не зависит отxиy, т. е.и. В соответствии с (7.2), следовательно,.

Подставив это значение производной в третье уравнение системы (7.8), видим, что , а следовательно,, т. е. в пространстве есть некоторое поле не зависящее от времени. Но электромагнитные волны - это поля, изменяющиеся во времени. Следовательно,=0.

Так как , то и векторне имеетz-й составляющей, т. е. лежит в плоскости, нормальной к направлению распространения волны. Докажем, что вектортакже лежит в этой плоскости.

При условиях, сформулированных выше,

,

т. е. вектор не имеетz-й составляющей.

Если учесть, что для прямой волны

,

,

то получим, что

.

Вектор, стоящий в круглых скобках, можно представить как векторное произведение единичного вектора и вектора:. Следовательно,

(7.9)

Для обратной волны совершенно аналогично получим, что

. (7.10)

Учитывая, что вектор скорости прямой волны , а вектор скорости обратной волны , можно сделать вывод, что в случае плоской электромагнитной волны векторыилежат в плоскости, нормальной к направлению распространения волны, и перпендикулярны между собой. Взаимное расположение векторов,икаждой из плоских волн соответствует взаимному расположению ортов , и (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Положительные направления векторов поля электромагнитной волны

И для прямой и для обратной волны из (7.9) и (7.10) следует, что

, (7.11)

где Ом - волновое сопротивление вакуума.

Вектор Пойнтинга совпадает по направлению с направлением скорости волны.