1.2. Первое уравнение Максвелла

В семидесятых годах прошлого столетия выдающийся английский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал уравнения, совокупность которых описывает любое электромагнитное явление в макроскопическом масштабе. Эти уравнения обобщали теоретические и экспериментальные результаты, полученные к тому времени Эрстедом, Ампером, Фарадеем и другими физиками.

В интегральной форме первое. уравнение Максвелла записывается так:

где - напряженность магнитного поля;

- плотность тока проводимости;

l- контур, ограничивающий поверхностьs; обход контураlпри интегрировании согласуется с направлением нормалик поверхностиsправилом правоходового винта, обычно направление нормалипринимают совпадающим с направлением вектора;

- ток проводимости;

- ток смещения.

К формулировке первого уравнения Максвелла можно прийти, исходя из сформулированного Ампером закона полного тока в интегральной форме:

. (1.1)

Применив к уравнению (1.1) известную из векторного анализа теорему Стокса, получим или

. (1.2)

Это уравнение является дифференциальной формой записи закона полного тока.

Взяв дивергенцию от обеих частей равенства (1.2), получим , ввиду того, что дивергенция ротора тождественно равна нулю. В тождественном равенстве , которое должно выполняться для любого случая, заключено противоречие. Дело здесь в следующем. Рассмотрим объемс объемным зарядомp. Изменение заряда во времени внутри объемаможно записать в виде производной .

Это же изменение заряда в единицу времени может быть определено по количеству заряда, выходящего или входящего в объем через ограничивающую этот объем поверхность s. Через элемент поверхностив единицу времени проходит заряд, равный, гдеVесть скорость движения зарядов через поверхность. Взяв интеграл отпо поверхностиs, получим общее изменение заряда в единицу времени внутри объема. На основании вышеизложенного можно записать:

. (1.3)

Наличие в уравнении знака «минус» объясняется тем, что при увеличении заряда внутри объема левая часть уравнения - положительна, а произведение - отрицательно, так как увеличение заряда внутри объемавозможно только за счет поступления туда зарядов извне.

Уравнение (1.3) представляет собой математическую запись фундаментального закона природы - закона сохранения заряда. Часто это уравнение называют уравнением непрерывности в интегральной форме.

Применяя к (1.3) теорему Остроградского, получим

Ввиду того, что это равенство должно выполняться для любого объема, поэтому

. (1.4)

Уравнение (1.4) называется уравнением непрерывности в дифференциальной форме.

Теперь понятно, что тождественное равенство противоречит закону сохранения заряда (1.4). Это противоречие Максвелл устранил добавлением в правую часть (1.2) еще одного слагаемого, которое он назвал плотностью тока смещения

. (1.5)

Теперь, очевидно, должно выполняться равенство

(1.6)

или

. (1.7)

Сравнивая (1.7) и (1.4), получаем

.

Проинтегрировав это равенство по объему и изменив в правой части порядок дифференцирования по времени и интегрирования по объему, будем иметь

.

Далее Максвелл предположил, что для рассматриваемого общего случая, т. е. и для переменных электромагнитных полей, справедлива электростатическая теорема Гаусса

.

Это позволило записать

.

Откуда и получается, что

. (1.8)

Сумму плотности тока проводимости и плотности тока смещенияМаксвелл назвал плотностью полного тока

. (1.9)

Для которого справедливы следующие дифференциальное и интегральное соотношения

, (1.10)

. (1.11)

Дифференциальная форма записи закона полного тока с новым слагаемым будет такой

. (1.12)

Это уравнение называется первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.

Подставив в (1.8)

,

получим

.

Второе слагаемое в правой части этого равенства представляет плотность тока связанных в диполи зарядов

. (1.13)

С физической точки зрения первое уравнение Максвелла (1.12) утверждает тот факт, что напряженность магнитного поля определяется не только движением свободных и связанных зарядов (), но в равной степени и скоростью изменения электрического поля во времени. Другими словами, изменяющееся магнитное поле может существовать в областях пространства, в которых отсутствует движение зарядов, но имеется изменяющееся электрическое поле.