5.4. Стационарное магнитное поле

Стационарное магнитное поле — это магнитное поле постоянного тока. Математически оно описывается системой уравнений (5.3)(5.4). При анализе стационарных магнитных полей обычно предполагается, что задана плотность токаво всех точках пространства, а поля векторовинеизвестны. В случае линейных изотропных сред эти уравнения дополняются линейным уравнением связи векторови, и вся система основных уравнений имеет вид:

(5.12)

В интегральной форме два первых уравнения системы можно записать так:

(5.13)

Интегральная форма широко используется для решения целого ряда задач, в том числе для расчета полей симметричных систем. Рассмотрим задачу о расчете магнитного поля бесконечно протяженного цилиндрического проводника с радиусом а, по которому течет ток I(рис. 5.2).

Рис. 5.2. К расчету поля бесконечно протяжного цилиндрического проводника

В качестве контура интегрирования примем окружность радиуса rс центром, совпадающим с осью проводника. В соответствии со вторым уравнением системы (5.13) вектор, а следовательно, и векторимеет только-ю составляющую. В силу симметрии вoвсех точках контура эта составляющая имеет одно и то же значение Н. При указанном на рис. 5.2 положительном направлении тока и направлении обхода контура, вектораивсюду совпадают по направлению, то есть. Следовательно, левую часть первого уравнения системы (5.13) можно преобразовать следующим образом:

.

В правой части следует записать ток, охваченный контуром интегрирования. Для точек, находящихся вне провода (r>>а) этим током будет весь ток, текущий в проводе, то естьI, а для точек внутри провода — только часть этого тока.

Следовательно:

приrа;

при r < а.

В ряде случаев стационарное магнитное поле легче анализировать, описав его векторным магнитным потенциалом , вихри которого определяют вектор магнитной индукции. Для стационарных (неизменных во времени) полейи согласно выражению (3.14) дивергенция вектораравна нулю,div=0.

Как было показано в гл. 3, поле векторного потенциала и поле плотности тока связаны в стационарных задачах уравнением Пуассона:

. (5.14)

Это векторное уравнение при решении задач в декартовой системе координат можно рассматривать как систему трех скалярных уравнений, каждое из которых записано для одной из составляющих векторов и. Например, для х-й составляющей получим:

. (5.15)

Ранее было получено решение уравнения такого вида для скалярного потенциала электростатического поля. По аналогии можно записать решение для каждой .из составляющих вектора А_х; А_у;A_z:

.

а далее, применяя принцип наложения, получим решение для вектора

, (5.16)

где R—расстояние от точки истока с элементом тока до точки наблюдения, то есть той точки, в которой рассчитывается потенциал(рис. 5.3).

Рис. 5.3. К определению векторного магнитного потенциала

Интеграл вычисляется по всему объему, в котором плотность тока отлична от нуля.

Если ток локализован в проводе, то, естественно, интегрирование следует проводить только по объему проводника. Решение (5.16) может быть записано для этого случая в более удобной форме.

За элемент объема dvпримем элемент провода длиноюdl(рис. 5.4).

Рис. 5.4. Элемент объема в проводе с током

Учитывая малость dl, можно считать, что, где- орт, совпадающий по направлению с осью провода в окрестности точки наблюдения. Положительное направление этого орта совпадает с положительным направлением тока в проводе.

Так как , то

, (5.17)

Подставив это значение элемента тока в (5.16) и учитывая, что по всей длине проводника i=const, получим

. (5.18)

Интегрирование проводится по всей длине провода l.

В качестве примера применения векторного потенциала при анализе стационарных магнитных полей можно указать на метод расчета магнитных потоков по полю векторного потенциала, так как вычисление циркуляции () во многих задачах проводить значительно проще, чем определять поток интегрированием индукции по площади.