4.10. Вопросы для самопроверки

1. Изложите задачу и порядок расчета полей удовлетворяющих уравнению Лапласа, и приведите таблицу прямого соответствия величин для статических электрических и магнитных полей.

2. Может ли различное распределение зарядов в пространстве создавать в определенной области пространства одинаковые поля?

3. Изложите порядок расчета полей, удовлетворяющих уравнению Пуассона, и приведите таблицу обратного соответствия величин для статических и магнитных полей.

4. Между расчетами каких электрических и магнитных полей, удовлетворяющих уравнению Пуассона, существует аналогия?

5. Изложите суть метода зеркальных изображений.

6. Можно ли пользоваться методом зеркальных изображений для расчета полей в нелинейных средах.

7. Изложите суть расчета электрического поля линейного заряда, расположенного в диэлектрической среде вблизи плоской поверхности бесконечной проводящей среды.

8. Эквивалентом какого реального заряда является фиктивное изображение линейного заряда.

9. Изложите суть расчета электрического поля линейного заряда, находящегося вблизи плоской поверхности раздела двух диэлектрических сред.

10. Как учесть влияние земли на величину емкости однопроводной линии, подвешенной на высоте h?

Глава 5. Стационарные поля

5.1. Основные определения и уравнения

Если в некоторой области пространства все плотности электрических зарядов и все токи постоянны, то в этой области существует стационарное поле. Это поле связано с особым случаем динамики, когда движется большое количество зарядов так, что в среднем их распределение в пространстве остается неизменным и его можно приближенно описывать как постоянный поток зарядов (ток). При постоянном токе движение зарядов стационарно и, хотя заряды и движутся в проводнике, их плотность в каждом объеме остается неизменной. Только в этом случае можно говорить о плотности тока , которая не меняется со временем. Учитывая, что все поля постоянны, в уравнениях Максвелла отбрасываем члены си:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Кроме того, для изотропных линейных сред плотность тока связана с напряженностью электрического поля законом Ома в дифференциальной форме:

(5.5)

Плотность тока численно равна отношению тока i, протекающего через элемент поверхностиS(перпендикулярной к направлению напряженности поля в данной точке), к величинеSэтой поверхности. Если поверхность имеет конечные размеры, то направление вектора плотности тока во всех элементах, на которые может быть разбита поверхность, и направления элементов поверхности могут быть различны, и ток определяется так:

.

Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока. Ток в отличие от плотности тока является скаляром алгебраического характера.

При условии, что задана плотность тока или напряженность электрического поля, каждую пару уравнений (5.1), (5.2), (5.3), (5.4) можно рассматривать отдельно, т. е. говорить о решении для стационарного электрического поля и стационарного магнитного поля. Связь между подсистемами уравнений Максвелла осуществляется посредством выражения (5.5).

5.2. Стационарное электрическое поле

Стационарное электрическое поле — это поле постоянного тока в среде с конечной проводимостью. Оно описывается уравнениями (5.1) и (5.2). Из выражения для стационарного поля () можно получить еще одно дифференциальное уравнение:

. (5.6)

В интегральной форме записи, уравнение (5.6) перепишем в виде:

. (5.7)

Уравнения (5.6) и (5.7) называются первым законом Кирхгофа, соответственно, в дифференциальной и интегральной форме.

Из уравнений (5.6) или (5.7) следует, что поле вектора не имеет источников, т. е. существуют замкнутые трубки поля.

Согласно формулам (1.23), (1.26) и (1.29) граничные условия для стационарного поля имеют вид:

J_1n=J_2n; D_1n=D_2n; E_1t=E_2t. (5.8)

На основании уравнения поле постоянного тока является безвихревым и его можно однозначно описать скалярной величиной — потенциалом, который определяется следующим образом:

(5.9)

В потенциальном поле разность потенциалов между двумя точками не зависит от положения этих точек. Однако в случае поля постоянных токов необходимо правильно подходить к выбору пути интегрирования. В стационарном поле трубки поля всегда замкнуты, но под действием кулоновских сил ток течет всегда из точки с высшим потенциалом в точку с низшим. Следовательно, должны существовать участки контура с повышением потенциала, на которые действуют сторонние силы. Под сторонним электрическим полем понимают электрическое поле, обусловленное химическими, электрохимическими тепловыми, термоэлектрическими процессами. Напряженность стороннего поля обозначают. В общем случае необходимо учитывать общую напряженность поля. Линейный интеграл от сторонней напряженности поля внутри источника называется Э.Д.С. (Е₁)

.

Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделение электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к плюсу источника, а отрицательные – к минусу.

Закон Ома в дифференциальной форме для областей занятых источниками Э.Д.С., записывается следующим образом

. (5.10)

Уравнение называют обобщенным законом Ома в дифференциальной форме. Если от обеих частей уравнения взять интеграл по замкнутому контуру, включающему в себя источник Э.Д.С., то будет получен второй закон Кирхгофа. Поэтому уравнение (5.10) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

Для области стационарного поля, в которой нет сторонних сил, можно получить уравнение Лапласа. Так как

,

то подставив вместо его выражение черезgradиз (5.9), получим:

или.