4.4.3. Электростатическое поле системы заряженных тел, расположенных вблизи проводящей плоскости.

В качестве системы заряженных тел рассмотрим многопроводную линию из nвесьма длинных проводов с зарядом_kна единицу длины (индекс у заряда соответствует номеру провода), протянутых параллельно проводящей поверхности (например, поверхности земли). Высота подвеса и радиус каждого провода известны, а также известна электрическая проницаемость_асреды, окружающей провода.

Возьмем в диэлектрике некоторую произвольную точку М (рис. 4.11) и найдем ее потенциал.

Рис. 4.11.

Потенциал точки М будет равен сумме потенциалов, создаваемых каждым проводом и его зеркальным изображением. Составляющую потенциала точки М от провода 1 и его зеркального изображения можно записать следующим образом (постоянную, с точностью до которой определяется потенциал, опускаем):

,

где b_1м— расстояние точки М до зеркального изображения первого провода; а_1м — расстояние точки М до первого провода.

Будем полагать, что высота подвеса каждого провода над землей много больше радиусов проводов. При этом электрические оси практически совпадут с геометрическими.

Составляющая потенциала точки М от второго провода и его зеркального изображения:

.

Таким образом,

.

4.4.4. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла.

Точку М можно поместить на поверхность первого провода. При этом _М=₁; b_M1=2h₁; a_M1=r₁; b_M2=b₁₂— расстояние первого провода до зеркального изображения второго провода; a_M2=а₁₂— расстояние первого провода до второго и т. д.:

. (4.27)

Коэффициенты при зарядах ₁,₂и других зависят только от геометрических размеров тел, взаимного их расположения и от свойств среды. Они не зависят ни от величины, ни от знаков зарядов и потенциалов.

Для сокращения записи выражение (4.27) и другие, аналогичные ему, запишем следующим образом:

(4.28)

Здесь

.

Коэффициент . Так какb_mk=b_kmиa_mk=a_km, то_km=_mk. Систему уравнений (4.27) принято называть первой группой формул Максвелла.

Коэффициенты называют потенциальными коэффициентами. Размерность их равна размерности единицы длины, разделенной на фараду.

Так как у всех коэффициентов под знаком логарифма находится дробь, числитель которой всегда больше знаменателя, то все коэффициентыположительны.

Коэффициентам может быть дано следующее толкование. Пусть заряды всех проводов, кроме первого, равны нулю:₂=₃=₄=…=0, а₁=1; тогда₁=₁₁, т. е.₁₁численно равно потен­циалу первого провода, если на первом проводе находится единичный заряд, а заряды на остальных проводах отсутствуют. Аналогично,₂₁численно равно потенциалу второго провода в тех же условиях. Система (4.28) позволяет подсчитать потенциалы заряженных тел по известным общим зарядам тел.

Может встретиться и обратная задача: по известным потенциалам тел найти заряды тел.

4.4.5. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла.

Решим систему (4.28) относительно зарядов, полагая потенциалы и коэффициентыизвестными:

(4.29)

Коэффициенты _kт=_kn. Здесь черезобозначен определитель системы (4.28):

Алгебраическое дополнение _knполучают из определителя системыпутем вычеркиванияk-строки иn-столбца и умножения полученного минора на (- 1)^k+n.

Система (4.29) является второй группой формул Максвелла.

Коэффициенты называют емкостными коэффициентами. Размерность их обратна размерности коэффициента. Так как определитель системысимметричен относительно главной диагонали, то_kn=_nkи потому_kn=_nk. Всес одинаковыми индексами положительны, а с разными индексами отрицательны.