4.4 Метод зеркальных изображений

Как мы уже отмечали, уравнения, описывающие электростатические поля (Пуассона и Лапласа), являются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Поэтому они допускают бесчисленное множе­ство решений. Из них нам нужно отобрать то, которое соответствует условиям задачи. Это позволяет сделать теорема единственности: решение, удовлетворяющее уравне­ниям поля (Лапласа, Пуассона) и граничным условиям данной задачи, является единственным. Основываясь на этой теореме, можно сформулировать такое следствие из нее: поле внутри некоторой области не изменится, если действительное распределение зарядов вне этой области заменить фиктивным, но обеспечивающим прежние граничные условия.

4.4.1. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

Заряженная ось (-заряд на единицу длины) расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды (рис. 4.9,а).

Рис. 4.9

Проводящей средой может быть какая-либо металлическая стенка или, например, земля. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты х. Поле в диэлектрике создается не только заряженной осью, но и зарядами, выступившими на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции. Несмотря на то, что распределение плотности зарядов на поверхности проводящей среды неизвестно, данную задачу сравнительно легко можно решить по методу зеркальных изображений.

Поместим в точке mфиктивный заряд обратного знака (-) по отношению к заданному заряду. Расстояниеhот точкиmдо плоскости раздела сред такое же, как и расстояние от действительного заряда до плоскости раздела. В этом смысле осуществлено зеркальное изображение. В данной задаче фиктивный заряд численно равен заданному, но имеет обратный знак. Так будет не всегда, т. е. не во всех задачах искусственно введенный заряд будет численно равен заданному и иметь противоположный знак.

Убедимся, что напряженность поля от двух зарядов (и -) в любой точке границы раздела имеет только нормальную к границе составляющую и не имеет тангенциальной составляющей (см. построения на рис.4.9,а). Действительно, тангенциальные составляющие от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме дают нуль в любой точке поверхности.

Можно убедиться в том, что потенциал от каждой из осей, удовлетворяет уравнению Лапласа.

Так как потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа и в то же время удовлетворено граничное условие, то на основании теоремы единственности полученное решение является истинным.

Картина поля заряженной оси, расположенной параллельно проводящей плоскости, изображена на рис. 4.9,б. Силовые линии перпендикулярны поверхности провода и поверхности проводящей плоскости. Знаки “минус“ на поверхности проводящей плоскости означают отрицательные заряды, выявившиеся на ее поверхности в результате электростатической индукции.

4.4.2. Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

Как показано на рис. 4.10,а, верхнее полупространство заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью _1а, нижнее — диэлектриком с_2а;ab— граница раздела двух сред.

Рис.4.10

В верхнем полупространстве параллельно границе раздела сред находится заряженная ось с зарядом ₁. Вследствие поляризации диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влия­ющие на поле в обеих средах. Учет влияния связанных зарядов на поле производят путем введения двух дополнительных фиктивных зарядов₂и₃в отличие от предыдущей задачи, где вводился один заряд. В предыдущей задаче надо было удовлетворить только одному условию (E_t= 0), и это можно было сделать с помощью одного заряда. В данной же задаче надо удовлетворить двум граничным условиям, что возможно только с помощью двух пока неизвестных зарядов₂и₃.

Расчет поля в любой точке верхнего полупространства (полуплоскости) производят от двух зарядов: заданного ₁, и дополнительного₂. Причем не только верхнее, но и нижнее полупространство заполнено (в расчетном смысле) диэлектриком с диэлектрической проницаемостью_1а(рис. 4.10, б).

Поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда ₃, расположенного в той же точке, где находился заряд₁,. В этом случае не только нижнее, но и верхнее полупространство заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью_2а(рис. 4.10, б).

Составим два уравнения для определения пока неизвестных ₂и₃.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля на границе раздела следует, что

или

.

Отсюда

. (4.23)

Из условия равенства нормальных составляющих вектора D на границе раздела, приняв за положительное направление для нормали направление вниз, имеем .

Запишем последнюю строку в развернутом виде:

.

Следовательно,

₁-₂=₃. (4.24)

Решая совместно (4.23) и (4.24), получим

, (4.25)

. (4.26)

Знак заряда ₂совпадает со знаком заряда_lесли_la>_2а. Знак₃, всегда тот же, что и знак₁.

Если поле будет создаваться не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика сохраняется и формулы (4.25) и (4.26) годятся и для точечных зарядов. Но под теперь следует понимать величину точечного заряда.