5. Поле бесконечно протяженной заряженной плоскости

Ввиду того, что задача обладает плоскостной симметрией, вектора поля иперпендикулярны заряженной плоскости и имеют одинаковую величину в любой точке плоскости, параллельной заданной. Определим поток векторачерез поверхность цилиндра, образующая которого перпендикулярна заряженной плоскости (рис. 4.4) и расположенного так, что заряженная плоскость делит его на две равные части

,

откуда

и. (4.15)

Рис. 4.4. К определению поля бесконечно протяженной заряженной плоскости

Так как полученные значения Dи Е не зависят от длины цилиндраl, делаем вывод, что поле заряженной плоскости однородно.

Найдем распределение потенциала вдоль прямой линии перпендикулярной заряженной плоскости

. (4.16)

Постоянную интегрирования определим из условия =0 приx=0 и получим (рис. 4.4)

.

Эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные заряженной плоскости.

4.3. Применение принципа суперпозиции для расчета полей

Рассмотрим некоторые электростатические поля в линейных средах. Эти поля описываются системой линейных уравнений, а поэтому при их решении возможно применение принципа суперпозиции.

1. Поле диполя

На рис. 4.5 показан электрический диполь, образованный двумя точечными зарядами +qи -q, расстояние между которыми (плечо диполя) равноl.

Рис. 4.5. а - к определению ноля электрического диполя; б - взаимное расположение единичных ортов в сферической системе координат

Диполь принято характеризовать электрическим моментом . Когда говорят о поле диполя, то имеют в виду электрическое поле на расстоянии,Rот центра диполя при обязательном выполнении условияR>>l, то есть рассматривают поле на большом удалении от диполя. Определим потенциал точки А от положительного и отрицательного зарядов в отдельности (4.9), а затем согласно принципу суперпозиции просуммируем потенциалы

.

Учитывая, что R₊,R_-иRмного большеl, можно записать следующие приближенные равенства:

R₊R_-R, R₊R_-R²,

, R_--R₊=lcoslcos.

Cучетом этих равенств получим

. (4.17)

где .

Следует заметить, что потенциал в рассматриваемом случае убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а не расстоянию в первой степени, как было в случае точечного заряда.

Напряженность поля диполя удобно искать в сферической системе координат (рис. 4.5, б) .

.

Продифференцировав выражение для потенциала, получим:

;

;

.

Картина поля диполя показана на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Картина поля электрического диполя

2. Поле двух заряженных осей

Две заряженные бесконечно протяженные оси расположены на расстоянии 2hдруг от друга (рис. 4.7).

Рис. 4.7. К определению поля двух заряженных осей

Используя (4.12) и принцип суперпозиции, потенциал любой точки (например, точки А на рис. 4.7) можно записать так

.

Если принять, что =0 приr₊=r_-, то постоянная интегрирования обращается в нуль и

. (4.18)

Эквипотенциальные линии должны удовлетворять уравнению =constили, что то же самое, уравнению, гдеk- постоянное число.

Подставляя r²_-=(x-h)²+y²иr²₊=(x+h)²+y²в последнее уравнение, возведенное в квадрат, и произведя алгебраические преобразования, получим

. (4.19)

Это уравнение является уравнением окружности с радиусом и координатами центра

, (4.20)

и. (4.21)

Следовательно, эквипотенциальная линия является окружностью с вышеуказанными радиусом и координатами центра. Для построения эквипотенциальной линии заданного потен­циала ₃определяется величинаkпо формуле

(4.22)

а затем радиус окружности Rи координаты центраx₀ иy₀.

Силовые линии тоже являются окружностями, центры которых лежат на вертикальной оси. Картина поля приведена на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Картина поля двух заряженных осей