Ответы к теории по матану / 33. Линейные диффер уравнения 2 порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях  и  является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты  и  постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение  будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции  единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение  имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни  и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то  будет мнимым числом, а корни  и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .