
Ответы к теории по матану / ......7. интегрирование простейших и рациональных функций
.docxФункция называется рациональной
функцией,
или рациональной
дробью,
если она представляет собой отношение
двух многочленов
и
:
Пусть
степень многочлена равна
,
а степень
равна
,
то есть
где и
.
Разделив числитель и знаменатель на
число
,
мы получим, что коэффициент при старшей
степени
в
знаменателе равен 1. Для дальнейшего
нам будет удобно предполагать, что эта
операция уже произведена, то есть что
.
Далее мы будем предполагать, что все
коэффициенты
и
--
вещественные числа.
Если ,
то дробь
называется правильной,
а если
,
то неправильной.
Если дробь неправильная, то её
числитель
можно
поделить на знаменатель
,
получив при этом частное
и
остаток
,
степень которого
меньше
.
Это означает, что
или что
где --
некоторый многочлен, называемый целой
частью рациональной
дроби
.
Если остаток
тождественно
равен 0, то многочлен
делится
на
без
остатка, и функция
является
многочленом, то есть совпадает со своей
целой частью
.