Ответы к теории по матану / 29. Дифференциальные уравнения. Основные определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция  есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным; например,

Когда искомая функция  есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида

называется уравнением в частных производных. Здесь  — неотрицательные целые числа, такие, что ; например

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение  — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где  — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение  — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале  называется функция , определенная на интервале  вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции  в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по  на . Например, функция  является решением уравнения  на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Подставляя выражения  и  в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.