
Ответы к теории по матану / 15. Несобственные интегралы второго рода
.docxНесобственные интегралы первого рода
Определение Предположим,
что функция задана
на бесконечном промежутке вида
и
интегрируема на любом конечном отрезке
,
где
.
Таким образом, можно рассмотреть функцию,
зависящую от верхнего предела, как от
переменной:
Если
эта функция имеет предел при ,
то число
называется значением
несобственного интеграла первого рода:
а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.
Несобственные интегралы второго рода
Пусть
на полуинтервале задана
функция
,
интегрируемая на любом отрезке,
принадлежащем данному интервалу, однако
не интегрируемая на отрезке
.
В точке
эта
функция может быть вовсе не определена
и стремиться к
,
либо вовсе не иметь никакого предела.
Рассмотрим функцию
она
определена при .
Эта функция может иметь предел
при
(левосторонний
предел). Этот предел будем называть
значением интеграла от
по
всему полуинтервалу
и
обозначать в точности:
Определение. Пусть
функция удовлетворяет
указанным выше условиям на
.
Несобственным интегралом второго рода
назовём определенный интеграл
значение которого равняется левостороннему пределу
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.