Ответы к теории по матану / 31. Однородные диффер уравнения 1 порядка

Однородные уравнения

Функция  называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .

Например, функция  есть однородная функция второго измерения, так как

При  имеем функцию нулевого измерения. Например,  есть однородная функция нулевого измерения, так как

Дифференциальное уравнение вида  называется однородным относительно  и , если  есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

(1)

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если  есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет  или (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку.