
Ответы к теории по матану / 1. Первообразная функция. Теорема о первообразной
..docx
Функция F (х)
называется первообразной
функцией для
данной функции f (х)
(или, короче, первообразной данной
функции f (х))
на данном промежутке, если на этом
промежутке
. Пример.
Функция
является
первообразной функции
на
всей числовой оси, так как
при
любом х.
Отметим,
что вместе с функцией
первообразной
для
является
любая функция вида
,
где С —
произвольное постоянное число (это
следует из того, что производная
постоянной равна нулю). Это свойство
имеет место и в общем случае.
Теорема
1.
Если и
—
две первообразные для функции f (х)
в некотором промежутке, то разность
между ними в этом промежутке равна
постоянному числу.
Из
этой теоремы следует, что если известна
какая-нибудь первообразная F (х)
данной функции f (х),
то все множество первообразных для f (х)
исчерпывается функциями F (х)
+ С.
Выражение F (х)
+ С,
где F (х)
— первообразная функции f (х)
и С —
произвольная постоянная,
называется неопределенным
интегралом от
функции f (х)
и обозначается символом
,
причем f (х)
называется подынтегральной
функцией ;
— подынтегральным
выражением,
х — переменной
интегрирования;
∫
— знак
неопределенного интеграла.
Таким
образом, по определению
если
.
Возникает
вопрос: для
всякой ли функции f (х)
существует первообразная, а значит, и
неопределенный интеграл?
Теорема
2.
Если функция f (х) непрерывна на
[a ; b],
то на этом отрезке для функции f (х) существует
первообразная.
Ниже
мы будем говорить о первообразных лишь
для непрерывных функций. Поэтому
рассматриваемые нами далее в этом
параграфе интегралы существуют.